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電大【經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)】期末復(fù)習考試小抄資料(精編完整版)(留存版)

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【正文】 23()21(lim 625?? ????? xx xxxx= ))32)(11()213()21(lim625xxxxxx ??????? = 232 3)2(65 ???? 3 7.解: y? (x)= )cos2( ??xxx=2 c oss in2ln2 x xxxx ??? =2 c oss in2ln2 x xxxx ?? 8.解 xxxxf xx 1c os2s in2ln2)( ????? 9.解 因為 5ln5s i n2)c o s2(5ln5)5( c o s2c o s2c o s2 xxx xxy ??????? 所以 5ln25ln52πs i n2)2π( 2πc os2 ??????y 10.解 因為 )(l n)(l n32 31 ??? ? xxy 331ln3 2)(l n32 xxxx ?? ? 所以 xxxy dln3 2d 3? 11. 解 因為 )( c o sc o s5)( s i ne 4s in ????? xxxy x xxxx s inc o s5c o se 4s in ?? 所以 xxxxy x d)s i nc o s5c o se(d 4s in ?? 12.解 因為 )(2ln2)(c os 1 332 ?????? ? xxxy x 2ln2c os3322 xxx ??? 所以 xxxy x d)2ln2c os3(d322 ??? 13.解 )(c o s)2(2s in)( 22 ?????? xxxy xx 2c o s22ln2s in2 xxxx ??? 14.解: )5(e)( l nln3)( 52 ?????? ? xxxxy x xx x 52 5eln3 ??? 15.解 在方程等號兩邊對 x 求導,得 )e()e(])1ln ([ 2 ?????? xyxy 0)(e1)1l n( ???????? yxyxyxy xy xyxy yxyyxx e1]e)1[l n( ??????? 故 ]e)1)[l n(1( e)1( xyxyxxx yxyy ??? ????? 16. 解 對方程兩邊同時求導,得 0eec o s ????? yxyy yy yy yxy e)e(co s ???? )(xy? =yyxy ecos e??. 4 17.解:方程兩邊對 x 求導,得 yxy yy ???? ee yyxy e1 e??? 當 0?x 時, 1?y 所以,0dd?xxy ee01 e 11 ???? 18.解 在方程等號兩邊對 x 求導,得 )()e(])[ c o s ( ?????? xyx y 1e]1)[s in ( ??????? yyyx y )s i n (1)]s i n (e[ yxyyxy ?????? )sin(e )sin(1 yx yxy y ?? ???? 故 xyx yxy y d)s in(e )s in(1d ?? ??? 四、應(yīng)用題 1.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品 x 個單位時的成本函數(shù)為: xxxC )( 2 ??? (萬元) , 求:( 1)當 10?x 時的總成本、平均成本和邊際成本; ( 2)當產(chǎn)量 x 為多少時,平均成本最?。? 1. 解 ( 1)因為總成本、平均成本和邊際成本分別為: xxxC )( 2 ??? )( ??? xxxC , )( ??? xxC 所以, )10( 2 ??????C )10( ?????C , )10( ?????C ( 2)令 )(2 ????? xxC,得 20?x ( 20??x 舍去) 因為 20?x 是其在定義域內(nèi)唯一駐點,且該問題確實存在最小值,所以當 ?x 20 時,平均成本最小 . 2.某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品,其固定成本為 2021 元,每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為 60 元,對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為 q p? ?1000 10 ( q為需求量, p 為價格) 2. 解 ( 1)成本函數(shù) Cq() = 60q +2021. 因為 q p? ?1000 10 , 即 p q? ?100 110 , 所以 收入函數(shù) Rq() =p ? q =(100 110? q )q =100 110 2q q? . ( 2)因為利潤函數(shù) Lq() =Rq() Cq() =100 110 2q q? (60q +2021) = 40q 1102q 2021 且 ?Lq( ) =(40q 1102q 2021 ?) =40 5 令 ?Lq( ) = 0,即 40 = 0,得 q = 200,它是 Lq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點. 所以, q = 200 是利潤函數(shù) Lq() 的最大值點,即當產(chǎn)量為 200噸時利潤最大 . 3.設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為 50000 元,每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品,成本增加 100 元.又已知需求函數(shù) pq 42021 ?? ,其中 p為價格, q 為產(chǎn)量,這種產(chǎn)品在市場上是暢銷的,試求:( 1)價格為多少時利潤最大?( 2)最大利潤是多少? 3.解 ( 1) C(p) = 50000+100q = 50000+100(20214p) =250000400p R(p) =pq = p(20214p)= 2021p4p 2 利潤函數(shù) L(p) = R(p) C(p) =2400p4p 2 250000,且令 )(pL? =2400 – 8p = 0 得 p =300,該問題確實存在最大值 . 所以,當價格為 p =300 元時,利潤最大 . ( 2)最大利潤 1100025000030043002400)300( 2 ??????L (元). 4.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q 件時的總成本函數(shù)為 C(q) = 20+4q+(元),單位銷售價格為 p = (元 /件),試求:( 1)產(chǎn)量為多少時可使利潤達到最大?( 2)最大利潤是多少? 4.解 ( 1)由已知 )( qqqqqpR ????? 利潤函數(shù) 222 qqqqqqCRL ?????????? 則 qL ??? ,令 ???? qL ,解出唯一駐點 250?q . 因為利潤函數(shù)存在著最大值,所以當產(chǎn)量為 250 件時可使利潤達到最大, ( 2)最大利潤為 )250( 2 ?????????L (元) 5.某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q 件的成本函數(shù)為 9 8 0 )( 2 ??? qqqC (元) .為使平均成本最低,每天產(chǎn)量應(yīng)為多少?此時,每件產(chǎn)品平均成本為多少? 5. 解 因為 Cq() =Cqq()= 0 5 36 9800. qq? ? ( q?0 ) ?Cq( ) = ( . )0 5 36 9800qq? ? ?=05 98002. ? q 令 ?Cq( ) =0,即 0 5 98002. ? q=0,得 q1 =140, q2 = 140(舍去) . q1 =140 是 Cq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點,且該問題確實存在最小值 . 所以 q1 =140 是平均成本函數(shù) Cq() 的最小值點,即為使平均成本最低,每天產(chǎn)量應(yīng)為 140 件 . 此時的平均成本為 C( )140 = 0 5 140 36 9800140. ? ? ?=176 (元 /件) 6.已知某廠生產(chǎn) q 件產(chǎn)品的成本為 C q q q( ) ? ? ?250 20 102(萬元).問:要使平均成本最少,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品? 6. 解 ( 1) 因為 Cq() =Cqq()= 250 2010q q? ? ?Cq( ) = ( )250 2010q q? ? ?=? ?250 1102q 令 ?Cq( ) =0,即 ? ? ?250 110 02q,得 q1 =50, q2 =50(舍去), q1 =50 是 Cq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點. 所以, q1 =50 是 Cq() 的最小值點 ,即要使平均成本最少,應(yīng)生產(chǎn) 50 件產(chǎn)品. 第二部分 積分學 一、單項選擇題 6 1.在切線斜率為 2x 的積分曲線族中,通過點( 1, 4)的曲線為( y = x2 + 3 ). 2. 若 ? ?10 d)2( xkx= 2,則 k =( 1). 3.下列等式不成立的是( )1d(dlnxxx ? ). 4.若 cxxf x ??? ?? 2ed)( ,則 )(xf? =( 2e41 x?? ) . 5. ??? )d(e xx ( cx xx ?? ?? ee ). 6. 若 cxxf xx ???? 11 ede)( ,則 f (x) =(21x ). 7. 若 )(xF 是 )(xf 的一個原函數(shù),則下列等式成立的是 ( )()(d)( aFxFxxfxa ???). 8.下列定積分中積分值為 0 的是( xxx d2ee11???? ) 9. 下列無窮積分中收斂的是 ( ? ??1 2 d1 xx). 10.設(shè) R? (q)=1004q ,若銷售量由 10 單位減少到 5 單位,則收入 R的改變量是( 350 ). 11.下列微分方程中,( xxyyy e2 ??? )是線性微分方程. 12.微分方程 0)()( 432 ??????? xyyyy 的階是( 1) . 二、填空題 1. ?? ? xx ded 2 xxde 2? 2.函數(shù) xxf 2sin)( ? 的原函數(shù)是 21 cos2x + c (c 是任意常數(shù) ) 3.若 cxxxf ???? 2)1(d)( ,則 ?)(xf )1(2 ?x 4.若 cxFxxf ??? )(d)( ,則 xf xx )de(e ??? = cF x ?? ? )e( 5. ???e1 2 dx)1ln(dd xx0 6. ????11 22 d)1( xx x0 7. 無窮積分 ? ???0 2 d)1( 1 xx是 收斂的 (判別其 斂散性) 8.設(shè)邊際收入函數(shù)為 R? (q) = 2 + 3q,且 R (0) = 0,則平均收入函數(shù)為 2 + q23 . 9. 0e)( 23 ????? ? yy x 是 2 階微分方程 . 10.微分方程 2xy?? 的通解是 cxy ?? 33 三、計算題 ⒈ 解 cxxxxx x ???? ?? 1c o s)1(d1s i nd1s i n2 2.解 cxx x xxx ??? ?? 22ln 2)(d22d2 3.解 cxxxxxxxxxx ??????? ?? s i nc osdc osc osds i n 7 4.解 ? ? xxx d1)ln( = ? ??? xxxxx d1)(21ln1)(21 22 = cxxxxx ????4)l n2(21 22 5.解 xxx d)e1(e3ln0 2? ?=? ??3ln0 2 )ed(1)e1( xx= 3ln03)e1(31 x?=356 6.解 )(l nd2ln2)2(dlndln e1e1e1e1 xxxxxxxxx ??? ??? e1e1
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