【正文】 的配筋率。 cff? ? ?in MPa?? crcrcfE? ? 其中 cE 是混凝土的初始剛 度，計(jì)算式為： 39。在裂縫切線方向上根據(jù)力的平衡關(guān)系，可以得到如下公式： ? ? ? ?c o s sin c o s sinc i x s c r x s x n x n x y s c r y s y n y n yf f f f? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 不考慮上述方程，局部剪應(yīng)力可以一直增大，直到發(fā)生剪切滑移破壞。實(shí)際上，實(shí)驗(yàn)證明這個(gè)假設(shè)是不正確的。 MenegottoPinto 模型的表達(dá)式 為 ： **** 1 /(1 )(1 )RRbb ??? ???? ? ? ? （ ） 其中 ， *0rr??? ???? ? （ ） *0rr??? ???? ? （ ） 方程 ()表達(dá)的是 斜率分別為 0E 和 1E 的兩條漸近線的過(guò)渡段，如圖 所示的線（ a）和線（ b）。 針對(duì)不同的單元，一般通過(guò)經(jīng)驗(yàn)和試算來(lái)確定最佳的積分點(diǎn)數(shù)。力準(zhǔn)則的表達(dá)式為： ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 22im m m mFR F R F?? ? ? ?? ? ? 其中， F? 就是給殘余力設(shè)置的一個(gè)允許值。 5. 割線剛度迭代法相比于切線剛度法的有限元模型更為簡(jiǎn)單。sxf ， 39。 另外一種形式是以各個(gè)單元的割線剛度誤差之和作為判斷準(zhǔn)則，數(shù)學(xué)表達(dá)式為： ? ?1 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2 11, , , , . . . . . . , , . . . . . . , ,i i n nc c c c c c c c EE E E E E E E E ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 其中，1是向量的 1范數(shù)， 1E? 是預(yù)設(shè)的誤差限。 表 網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)組名 稱 、指針 編號(hào) 和數(shù)組的大小 [32] Table Mesh Array Names, Numbers and Sizes[32] NAME Num. dim 1 dim 2 dim 3 Description D 25 ndd nummat Material parameters F 27 ndf numnp 2 Force and Displacement ID 31 ndf numnp 2 Equation nos. IE 32 nie nummat Element control, dofs, etc. IX 33 nen1 numel Element connections T 38 numnp Temperature U 40 ndf numnp 3 Solution array VEL 42 ndf numnp nt Solution rate array X 43 ndm numnp Coordinates 本文主要涉及和研究 FEAPpv 的控制程序，至于詳細(xì)的前處理模塊介紹，可以參見(jiàn)文獻(xiàn) [][]。cf D(4) 混凝土的 受壓峰值應(yīng)變 39。tmx? h(9) 混凝土 Y 方向最大拉應(yīng)變 39。在 FEAPpv中， 結(jié)點(diǎn)荷載 ??P 是通過(guò)剛度矩陣 與 支座位移 計(jì)算 得到的 。pxy? h(5) 混凝土 X 方向最大壓應(yīng)變 39。圖 與切線剛度法對(duì)應(yīng)，圖 與割線剛度法對(duì)應(yīng)。在結(jié)構(gòu)問(wèn)題中，程序能夠通過(guò)單元形成質(zhì)量和幾何剛度矩陣，并計(jì)算單元上的相關(guān)值，如應(yīng)力和應(yīng)變，并能夠把相關(guān)值投影到結(jié)點(diǎn)上，輸出圖形結(jié)果。因此，割線剛度迭代法采用了一種全新的收斂準(zhǔn)則：以單元的割線剛度作為判斷收斂的條件。cx? ， 39。 3. 切線剛度法的過(guò)程，需要通過(guò)外荷載節(jié)點(diǎn)力和結(jié)構(gòu)恢復(fù)力求解出一個(gè)殘余力，再以此計(jì)算出增量位移來(lái)判斷是否滿足收斂條件，若不收斂，便更新結(jié)構(gòu)位移并重新計(jì)算結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣。 圖 弧長(zhǎng)法迭代過(guò)程示意圖 Fig The Arclength method 收斂準(zhǔn)則 基于切線剛度的 NewtonRaphson迭代法的收斂準(zhǔn)則有三種：力準(zhǔn)則、位移準(zhǔn)則以及能量準(zhǔn)則。 高斯積分 基于切線剛度的 NewtonRaphson 迭代法采用的是 22? 積 分點(diǎn)的高斯積分，其單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧刃ЫY(jié)點(diǎn)恢復(fù)力的高斯積分公式介紹如下。tmf 。pc? 用下式計(jì)算： 239。在裂縫表面的法線方向根據(jù)力平衡條件，用平均應(yīng)力和局部應(yīng)力建立的數(shù)值等價(jià)關(guān)系式可以表述為： ? ? ? ?221 c o s c o sc x s c r x s x n x y s c r y s y n yf f f f f? ? ? ?? ? ? ? 其中， scrxf 和 scryf 是裂縫處的局部鋼筋應(yīng)力， nx? 和 ny? 是鋼筋和裂縫截面法線方向的夾角。 2maxcf 反映的是主拉應(yīng)變的軟化效應(yīng)。 圖 開(kāi)裂鋼筋混凝土 的修正壓場(chǎng)理論 [23] Fig. Modified Compression Field Theory for cracked reinforced concrete[23] 修正斜壓場(chǎng)理論作了以下一些假設(shè)： 1. 鋼筋彌散分布于單元之中； 2. 裂縫均勻分布并能自由旋轉(zhuǎn)； 3. 單元中，剪應(yīng)力和正應(yīng)力均勻分布； 4. 應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，不考慮加載歷史的影響； 5. 跨越多條裂縫間距，應(yīng)力應(yīng)變可視作是平均的； 6. 主應(yīng)力角和主應(yīng)變角的方向一致； 7. 鋼筋和混凝土之間無(wú)粘結(jié)滑移； 8. 混凝土和鋼筋有獨(dú)立的本構(gòu)關(guān)系； 9. 忽略鋼筋中的剪應(yīng)力 。sxf ， 39。 2. 割線剛度法相比于切線剛度法的有限元模型更為簡(jiǎn)單。而 F. J. Vecchio 采用的割線剛度法只涉及了 1 個(gè)積分點(diǎn)，即中心積分點(diǎn)。 第 14 步：檢查單元應(yīng)力： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?00c c s sf D D? ? ? ?? ? ? ? 第 15 步：重新計(jì)算單元割線剛度值： 1) 根據(jù)求解出的位移，重新確定主方向上的 應(yīng)變值 39。斜壓場(chǎng)理論忽略了開(kāi)裂混凝土的拉力，而修正斜壓場(chǎng)理論則把裂縫間的拉應(yīng)力考慮了進(jìn)來(lái)。上述板的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在主拉應(yīng)變 1c? 同時(shí)存在的情況下，抗壓強(qiáng)度和剛度會(huì)隨著 1c? 的增大而減小。 考慮局部平衡條件 有了相容的應(yīng)變條件，根據(jù)本構(gòu)關(guān)系可以確定混凝土和鋼筋中的平均應(yīng)力，以及它們所平衡的施加剪應(yīng)力和正應(yīng)力。 混凝土滯回本構(gòu)模型 圖 a 所示為混凝土受壓的滯回模型，其骨架曲線表示的是結(jié)構(gòu)在單調(diào)加載時(shí)的反應(yīng)。 對(duì)于第一個(gè)受拉加卸載，塑性補(bǔ)償應(yīng)變 pc? 為常數(shù)，其值等于從受壓區(qū)穿軸確定的塑性應(yīng)變大小。 圖 MenegottoPinto 鋼筋模型 Fig MenegottoPinto steel model R 的值 取決于當(dāng)前漸進(jìn)線交點(diǎn) B 的應(yīng)變和上一次荷載 的 反向點(diǎn) A 的最大或最小應(yīng)變 間的應(yīng)變差。 首先 ， 取 單元的 初始剛度 為 ? ?0K ，根據(jù)所施加的外荷載等效結(jié)點(diǎn)力 ??P 可以求出 位移的第一次近似值 為 ： ? ? ? ? ? ?110KP? ?? () 由 得到的 初始位移可 以計(jì)算 單元 的 應(yīng)變 值，再結(jié)合本構(gòu)模型求到單元應(yīng)力，進(jìn)而得到相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)恢復(fù)力 ??1P 。 基于 MCFT 理論的 割線剛度迭代法 F. J. Vecchio 于 1990 年在 ACI 發(fā)表的論文中采用了基于 MCFT 理論的割線剛度迭代法來(lái)進(jìn)行鋼筋混凝土的有限元分析。1000000cccEDEG??????? (32) 2) 計(jì)算轉(zhuǎn)換矩陣 ??cT ? ?2222c o s sin c o s sinsin c o s c o s sin2 c o s sin 2 c o s sin c o s sinT? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??????????? 3) 計(jì)算整體坐標(biāo)系（ XY 坐標(biāo)）下的混凝土割線剛度矩陣 ? ? ? ? ? ? ? ?39。sxE , 39。一個(gè)問(wèn)題的求解，是通過(guò)使用命令語(yǔ)句的形式來(lái)達(dá)到的，其中的求解算法則由用戶定義并編寫(xiě)。圖 所示為整個(gè)宏命令的結(jié)構(gòu)圖： 鋼筋混凝土基于切線剛度法的非線性分析流程圖 FEAPpv 的源程序采用的是典型的基于切線剛度的有限元計(jì)算方法。 單元?jiǎng)偠染仃嚨男纬? 切線剛度法采用的是 FEAPpv 程序默認(rèn)的高斯點(diǎn)數(shù)，即用 2 2 的高斯點(diǎn)進(jìn)行積分，其具體的單元?jiǎng)偠染仃囆纬蛇^(guò)程見(jiàn)圖 混凝土應(yīng)力： ζ cx , ζ cy, η cxy 混凝土的材料矩陣： [D c ] 鋼筋混凝土的總應(yīng)力 ζ x= ζ cx+ ρ x ζ sx ζ y= ζ cy+ ρ y ζ sy η xy= η cxy鋼筋混凝土的總材料剛度矩陣 [D] = [D c ] + ρ x [D s ] x + ρ y [D s ] y 鋼筋應(yīng)力： ζ sx , ζ sy 鋼筋的材料矩陣： [D s ] x , [D s ] y 混凝土應(yīng)變： ε cx = ε x ε cy = ε y γ cxy = γ xy 調(diào)用混凝土模型 鋼筋應(yīng)變： ε sx = ε x ε sy = ε y 調(diào)用鋼筋模型 ε x, ε y, γ xy 對(duì)于割線剛度法，在每個(gè)單元上僅取其形心點(diǎn) 處的應(yīng)變作為整個(gè)單元的平均應(yīng)變，一定程度上簡(jiǎn)化了單元?jiǎng)偠刃纬傻挠?jì)算過(guò)程。通過(guò)以前的一些分析計(jì)算結(jié)果 可以看出，位移加載在一定程度上可以解決上述問(wèn)題，所以本文在割線剛度法的基礎(chǔ)上，對(duì)剪切板進(jìn)行了位移加載方式的研究。現(xiàn)以一個(gè)單元為例來(lái)說(shuō)明整個(gè)支座位移加載的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。比如結(jié)構(gòu)在經(jīng)過(guò)了加卸載之后，會(huì)產(chǎn)生不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變，而下一荷載步通過(guò)公式計(jì)算得到的塑性應(yīng)變值很有可能小于上一荷載步計(jì)算所得值，若程序沒(méi)有記憶功能，那么小值將會(huì)把大值覆蓋，得出不合理的結(jié)果。 鋼筋混凝土基于切線剛度法的 二維 非線性分析 具體 流程圖 如下所示： 開(kāi)始讀入模型信息讀入求解控制信息形成結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移列陣和結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣已知單元結(jié)點(diǎn)位移和位移增量調(diào)用鋼筋混凝土單元形成單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠燃山Y(jié)構(gòu)總體剛度 矩陣、單元結(jié)點(diǎn)恢復(fù)力集成結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)的恢復(fù)力由結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)荷載和恢 解方程，求得結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移增量收斂判斷復(fù)力求得殘差更新結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列陣 輸出計(jì)算結(jié)果結(jié)束計(jì)算是否達(dá)到最大迭代步數(shù)不收斂收斂是否達(dá)到目標(biāo)加載步是否是進(jìn)入下一迭代步否進(jìn)入下一荷載步更新結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列陣用結(jié)構(gòu)總剛和外荷載形成的結(jié)點(diǎn)力解方程，求得結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)全量 位移用單元?jiǎng)偠燃山Y(jié)構(gòu)總體剛 度矩陣用已知的單元結(jié)點(diǎn)位移求解單元應(yīng)變并調(diào)用鋼筋混凝土本構(gòu)形成單元?jiǎng)偠染仃囆纬山Y(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移列陣和結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣進(jìn)入下一荷載步結(jié)束計(jì)算是否達(dá)到目標(biāo)加載步是 輸出計(jì)算結(jié)果收斂判斷收斂否讀入求解控制信息讀入模型信息開(kāi)始不收斂是否達(dá)到最大迭代步數(shù)進(jìn)入下一迭代步否是 鋼筋混凝土基于割線剛度法的非線性分析流程圖 本文所研究的鋼筋混凝土基于割線剛度的二維非線性有限元分析流程圖如下所示 可以看出 ，割線剛度法和切線剛度法算法流程的差別在于： 1. 割線剛度法 不需要計(jì)算單元恢復(fù)力以及結(jié)構(gòu)的殘余力 ，從而不必分配大型的數(shù)組用以存取恢復(fù)力和殘余力，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間和儲(chǔ)存空間，提高了效 率； 2. 割線剛度法直接利用外荷載在結(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的力和集成的結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣來(lái)求解結(jié)構(gòu)的全量位移，而非切線剛度法中通過(guò)殘余力求得的增量位移； 3. 割線剛度法以單元割線剛度元素作為收斂條件，相比于切線剛度法的收斂判斷準(zhǔn)則更為簡(jiǎn)潔。 FEAPpv 程序自身包含了足夠多的命令來(lái)應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)以及許多其他需要用微分方程來(lái)模擬問(wèn)題的領(lǐng)域，靜態(tài)和動(dòng)態(tài)問(wèn)題都可以用該程序求解。 第 16 步：收斂判斷 詳細(xì)的算法流程圖如圖 所示。*F F F? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 第 10 步：計(jì)算結(jié)構(gòu)總剛矩陣 ??K ： ? ? ? ?Kk?? (37) 第 11 步：計(jì)算結(jié)構(gòu)總剛矩陣的逆矩陣 ? ?1K? ： 第 12 步：計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移 ? ? ? ? 1 39。而割線剛度迭代法則沒(méi)