【正文】 ? ?ba, ??? ，使得 )()(,2 ???? ffab ???? 且 引理 2: 設(shè) f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則存在 ? ? ? ?ba, ??? ，使得 2ab?????且 ? ?ab afbfff ????? )()()(?? ?? 證明：令 ? ? ab afbfxxfxF ????? )()(,)( ?? 顯然 )(xF 在 ? ?ba, 上連續(xù)且 )()( bFaF ? 因此，我們由引理 1可以得出，存在 ? ? ? ?ba, ??? ，使得 2ab????? 且)()( ?? FF ? 即 ?????? ??? )()( ff 所以 ??? ?? ?????? ab afbfff )()()()( 引理 3： 若函數(shù) f 在 ),( ba 內(nèi)一點(diǎn) 0x 可導(dǎo)，對任意兩個數(shù)列 ? ?? ?nn ?? , ，該兩數(shù)列滿足 nn x ?? ?? 0 ，且0limlim xnnnn ?? ???? ??，則 ? ?039。 xxx xxxxxg ?????????? 因?yàn)?0)(39。39。39。 在? 內(nèi)有一個根存在 . 定理在證明函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用 我們在研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)時，可以先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)它的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，來研究函數(shù)的性質(zhì) .為此，拉格朗日中值定理在這方面的應(yīng)用也是很重要的 .下面，我們給出一個例題 ，來更好的說明該定理的具體應(yīng)用 . 例 8 設(shè)函數(shù) )(xf 在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo) ， 并且 )(xf 的導(dǎo)數(shù) ? ?baxf ,)(39。39。 convergence。)()0( xfxxfxff ????? （ 2） 由（ 1） （ 2）得， 239。39。39。 ?xF . 事實(shí)上 ， ?????? ???? ?? xx xfdttfxfxfdttfxfxF020339。 ???， 故 0,)1l n()1l n()1l n()( 239。39。039。 不同時為零； （ 4） )()( bgag ? ， 則存在 ? ?ba,?? ，使得 )()( )()()( )(39。39。 0 xfxf xx?? 分析：為了更 好地理解該定理證明過程，我們在證明這個定理之前先給出左右導(dǎo)數(shù)的定義 . 設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 的某個右鄰域 )(0xU 內(nèi)有定義，若極限00)(lim0 xxxfxfxx ????）（ 存在，則稱此極限值為 f 在點(diǎn) 0x 處的右導(dǎo)數(shù)，記作 )( 039。 ????? ab afbffF ?? 移項(xiàng)后即得到所要證明的拉格朗日中值定理 . 行列式證明法 [3] 根據(jù)函數(shù)的幾何意義，我們構(gòu)造了如下的函數(shù)： ? ?1)(1)(1)(bfbafaxfxxF ? 由上面的函數(shù)滿足 0)()( ?? bFaF ，且函數(shù) )(xF 在 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ? ?ba, 上可導(dǎo)，則根據(jù)羅爾中值定理，我們可得出至少存在一點(diǎn) ? ?,ba?? 使 ? ?39。 ??????? xx xx xx xxf 根據(jù)計算得 ）（ 00)(39。 )()(2)()()()(2)( 已知 ? ?時故當(dāng) 1,0)),1,0((1)(39。 ??????? ?????? ffffff ff ? 而 0)0( ?f ， 由零點(diǎn)定理 ， 至少存在一點(diǎn) ? ， 使 0)( ??f . 例 7 設(shè)函數(shù) ? ?baxf ,)( 在 上三階可導(dǎo) ， ? ?bacbfaf ,0)()( 39。 ??f 因此方程 ? ?baxf ,0)(39。39。 the existence of the root 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 16 。39。39。 ??? 并存在點(diǎn)有 )(max)( xfcfbxa ??? 證明：方程 ? ?baxf ,0)(39。1)(2)()(2)(2)( 39。 xfxf ?? 成立 ， 則當(dāng) 10 ??x 時 ， 必有 )1(1)( xfxxxf ? 證明： 步驟 1：在證明該不等式成立之前，我們需要先證明這樣的一個不等式 xxx ln21 ?? （ 1） 構(gòu)造函數(shù) 1( ) 2 lng x x x x? ? ? 則有 22222 )1(12112)(39。1 ( ) 0( ) 1 0( ) 1fF a f ab f b?? ?? 成立，即有 ? ? ab afbff ??? )()(39。 xf? . 下面分別按照左右導(dǎo)數(shù)來證明導(dǎo)數(shù)極限定理成立 . 證明：（ 1）任取 )(),( 00 xfxUx ?? 在 ],[0xx 上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，則存在 ? ?xx ,0?? ，使得 )()()( 39。0)()!1( )()(! )()(!2 )()()()(?????????????nnnnxxnfxxn xfxxxfxxxfxfxf?? 拉格朗日中值定理的推論 在介紹拉格朗日中值定理的幾個等價表示形式之后，我們再依次給出該定理的三個推論 . 拉格朗日中值定理的等價表示： ? ?? ?10,)()()(。 ?f 是過曲線上一點(diǎn) ? ?? ??? f, 的切線的斜率 .那么，定理就可解釋為在曲線 ? ?xfy? 上至少存在一條平行于 AB 的切線 . 拉格朗日中值定理的推廣 為了更深刻的研究拉格朗日中值定理，下面我們給出拉格朗日中值定理的幾個推廣及其推論 . 柯西中值定理 [1] 設(shè)函數(shù) f 和 g 滿足 （ 1）在 ],[ ba 上都連續(xù)： （ 2）在開區(qū)間 ),( ba 上可導(dǎo)； （ 3） ??xf39。 ，則在區(qū)間 I上 f 與 g 只相差某一常數(shù)，即 )()()( 是某一常數(shù)ccxgxf ?? 推論 3 （導(dǎo)數(shù)極限定理）設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 的某鄰域 )(0xU 上連續(xù)，在 )( 00 xU德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 5 內(nèi)可導(dǎo)，且極限 )(lim 39。 ，即 kxf ?)( 039。39。 ???? 成立 .為此，我們可以得出 xxf xf ln2)( )1(ln ? 進(jìn)而推出 )1(1)( xfxxxf ? 成立 . 定理在證明積分不等式中的應(yīng)用 在證明積分不等式中，拉格朗日中值定理的作用是不可忽視的 .下面我們給出一個拉格朗日中值定理證證積分不等式中的應(yīng)用的例題 . 例 5 設(shè)函數(shù) ? ?1,0)( 在xf 上可微 ， 且當(dāng) ? ?1,0?x 時 ， 0)0(,1)(39。39。 ?? ?? ff （ 2） 由（ 2），再用羅爾定理知 ? ? ? ?ba ,213 ??? ??? ， ， 有 0)( 339。39。 assistant function