【正文】 關(guān)系.、難點：重點：①垂徑定理的兩個推論；②對推論的探究方法.難點：垂徑定理的推論1.活動設(shè)計：復(fù)習(xí)提問：定理：平分這條弦，并且平分弦所對應(yīng)的兩條弧.剖析：（教師指導(dǎo)）(二)新組合，發(fā)現(xiàn)新問題：（a層學(xué)生自己組合，小組交流，b層學(xué)生老師引導(dǎo)）， ，……（包括原定理，一共有10種）(三)探究新問題，歸納新結(jié)論：練習(xí)“平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?（在推論1（1）中，為什么要附加“不是直徑”這一條件.）練習(xí)按圖填空：在⊙o中，（1）若mn⊥ab，mn為直徑，則________，________，________；（2）若ac＝bc，mn為直徑，ab不是直徑，則則________，________，________；（3）若mn⊥ab，ac＝bc，則________，________，________；（4）若 = ，mn為直徑，則________，________，________.（此題目的：鞏固定理和推論）例、四等分 .（a層學(xué)生自主完成，對于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成）教材p80中的第3題圖，是典型的錯誤作.此題目的：是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來平分弧的方法，通過學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動手能力；通過與教材p80中的第3題圖的對比，.知識：垂徑定理的兩個推論.能力：①推論的研究方法；②平分弧的作圖.教材p84中14題.⑴要求學(xué)生掌握垂徑定理及其推論，會解決有關(guān)的證明，計算問題.⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ惶岣邔W(xué)生方程思想、分類討論思想的應(yīng)用意識.⑶通過例4（趙州橋）對學(xué)生進(jìn)行愛國主義的；并向?qū)W生滲透來源于實踐，又反過來服務(wù)于實踐的辯證唯物主義思想：垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用：如何進(jìn)行輔助線的添加：對于一條直線和一個圓來說，具備下列五個條件中的任何個，那么也具有其他三個：⑴ 直線過圓心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所對的優(yōu)弧 ；⑸ ：“知2推3”推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究） 涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)關(guān)系：r =h+d請問：橋拱的半徑（即弧ab所在圓的半徑）是多少 ？分析：如圖，用ab ⑤,突出重點,分散難點,避免學(xué)生記混.(三)應(yīng)用和練習(xí)例如圖,已知在⊙o中,弦ab的長為8cm,圓心o到ab的距離為3cm,求⊙o的半徑.分析:要求⊙o的半徑,連結(jié)oa,只要求出oa的長就可以了,因為已知條件點o到ab的距離為3cm,所以作oe⊥ab于e,而ae=eb= ab=△aoe即可.解:連結(jié)oa,作oe⊥ab于e.則ae=eb.∵ab=8cm,∴ae=4cm.又∵oe=3cm,在rt△aoe中,(cm).∴⊙o的半徑為5 cm.說明:①學(xué)生獨立完成,老師指導(dǎo)解題步驟。通過與教材p80中的第3題圖的對比,.(六)小結(jié):知識:垂徑定理的兩個推論.能力:①推論的研究方法。 r2 =d2 + (a/2)2 ：（學(xué)生歸納）⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半徑 .構(gòu)造直角三角形：線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系；同時為圓中的計算、作圖提供依據(jù).：（讓學(xué)生分析，交流，解答，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納）例1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為374米，拱高(弧中點到弦的距離，也叫弓形的高)為72米，求橋拱的半徑(精確到01米).說明：①對學(xué)生進(jìn)行愛國主義的；②應(yīng)用題的解題思路：實際問題——（轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形）——問題.例已知：⊙o的半徑為5 ，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab與cd間的距離.（讓學(xué)生畫圖）解：分兩種情況：（1）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的兩側(cè)過點o作ef⊥ab于e，連結(jié)oa、oc，又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作輔助線是難點，學(xué)生往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，錯誤的結(jié)論）由ef過圓心o，ef⊥ab，ab =6，得ae=3，在rt△oea中，由勾股定理，得，∴同理可得：of=3∴ef=oe+of=4+3=7.（2）當(dāng)弦ab、cd在圓心o的同側(cè)同（1）的方法可得：oe=4，of=3.∴.說明：①此題主要是滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數(shù)形結(jié)合——解決問題；②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.例 已知：如圖，ab是⊙o的弦，半徑oc∥ab ，ab=24 ，oc =15 .求：bc的長.解：（略，過o作oe⊥ae于e ，過b作bf⊥oc于f ， =）說明：通過添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.p8l中1題.，若油面寬ab=600mm，求油的最大深度.學(xué)生分析，教師適當(dāng)點撥.分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.1垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件.2. 應(yīng)用定理可以證明的問題；注重構(gòu)造思想，方程思想、分類思想在解題中的應(yīng)用.教材p84中116題，p85中b組3題.如圖，直線mn與⊙o交于點a、b，cd是⊙o的直徑，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.（1）線段ae、bf之間存在怎樣的關(guān)系？線段ce、oh、df之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.（2）當(dāng)直線cd的兩個端點在mn兩側(cè)時，上述關(guān)系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關(guān)系？并說明理由.（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=、df、oh之間應(yīng)滿足） 垂直于弦的直徑知識點 垂直于弦的直徑教學(xué)反思篇七目標(biāo)：(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計算和證明；(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；(3)通過圓的對稱性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛.重點、難點：重點：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力.難點：垂徑定理的證明.學(xué)習(xí)活動設(shè)計：實驗：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性，引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)不變性.提出問題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問題.通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.已知：在⊙o中，cd是直徑，ab是弦，cd⊥ab，垂足為e.求證：ae=eb， =， =.證明：連結(jié)oa、ob，則oa=∵cd⊥ab，∴直線cd是等腰△oab的對稱軸，又是⊙，cd兩側(cè)的兩個半圓重合，a點和b點重合，ae和be重合， 、 分別和 、 ，ae=be， =， =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：cd為⊙o的直徑，cd⊥ab ae=eb， =， =.為了運用的方便，不易出現(xiàn)錯誤，將原定理敘述為：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤，突出重點，分散難點，避免學(xué)生記混.例如圖，已知在⊙o中，弦ab的長為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.分析：要求⊙o的半徑，連結(jié)oa，只要求出oa的長就可以了，因為已知條件點o到ab的距離為3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=△aoe即可.解：連結(jié)oa，作oe⊥ab于e.則ae=eb.∵ab=8cm，∴ae=4cm.又∵oe=3cm，在rt△aoe中，(cm).∴⊙o的半徑為5 cm.說明：①學(xué)生獨立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；②應(yīng)用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)關(guān)系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2 例 已知：如圖，在以o為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、=bd.（證明略）說明：此題為基礎(chǔ)題目，對各個層次的學(xué)生都要求獨立完成.練習(xí)1：教材p78中練習(xí)1，學(xué)生之間展開評價、交流.指導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距.組織學(xué)生進(jìn)行：知識：(1)圓的軸對稱性；(2)垂徑定理及應(yīng)用.方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構(gòu)造直角三角形；(2)在因中解決與弦有關(guān)問題經(jīng)常作的輔助線——弦心距；(3)為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過圓心；②垂直于弦；則可得③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎Φ牧踊?教材p84中1113.第 1 2 3 頁 ②培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力.例 已知:如圖,ab是⊙o的弦,半徑oc∥ab ,ab=24 ,oc = 15 .求:bc的長.解:(略,過o作oe⊥ae于e ,過b作bf⊥oc于f , = )說明:通過添加輔助線,構(gòu)造直角三角形,并把已知與所求線段之間找到關(guān)系.(三)應(yīng)用練習(xí):p8l中1題.,若油面寬ab=600mm,求油的最大深度.學(xué)生分析,教師適當(dāng)點撥.分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半徑與圓心o到弦的距離差,從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形,然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.(四)小結(jié):1. 垂徑定理及其推論的應(yīng)用注重指明條件.2. 應(yīng)用定理可以證實的問題。②對推論的探究方法.難點:垂徑定理的推論1.學(xué)習(xí)活動設(shè)計:(一)分解定理(對定理的剖析)復(fù)習(xí)提問:定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對應(yīng)的兩條弧. 剖析: (教師指導(dǎo))(二)新組合,發(fā)現(xiàn)新問題:(a層學(xué)生自己組合,小組交流,b層學(xué)生老師引導(dǎo)), ,……(包括原定理,一共有10種)(三)探究新問題,歸納新結(jié)論:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦對應(yīng)的兩條弧.(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦對應(yīng)的兩條弧.(3)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.(4)圓的兩條平行線所夾的弧相等.(四)鞏固練習(xí):練習(xí)“平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧”這句話對嗎?為什么?(在推論1(1)中,為什么要附加“不是直徑”這一條件.)練習(xí)按圖填空:在⊙o中,(1)若mn⊥ab,mn為直徑,則________,________,________。②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力.難點:垂徑定理的證實.教學(xué)學(xué)習(xí)活動設(shè)計:(一)實驗活動,提出問題:實驗:讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱性,教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn):圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)不變性.提出問題:老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問題.通過“演示實驗——觀察——感性——理性”引出垂徑定理.(二)垂徑定理及證實:已知:在⊙o中,cd是直徑,ab是弦,cd⊥ab,垂足為e.求證:ae=eb, = , = .證實:連結(jié)oa、ob,則oa=∵cd⊥ab,∴直線cd是等腰△oab的對稱軸,又是⊙,cd兩側(cè)的兩個半圓重合,a點和b點重合,ae和be重合, 、 分別和 、 ,ae=be, = , = .從而得到圓的一條重要性質(zhì).垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論:cd為⊙o的直徑,cd⊥ab ae=eb, = , = .為了運用的方便,不易出現(xiàn)錯誤,將原定理敘述為:①過圓心。 r2=+（r－）2解得：r≈（m）答：.例2 如圖，在⊙o中，弦ab的長為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑.解：ad在下列圖形能否利用“垂徑定理”得到相等的線