【正文】 1 關于冪零矩陣的幾個注記 摘要： 給出了 n? 冪零矩陣的一個新的性質(zhì)，證明了矩陣為冪零的一個等價條件，修正與 改進了近期 冪零 矩陣的一些結果 ． 關鍵詞 ： 冪零矩陣 ；向量； 特征值 ；矩陣的跡； 伴隨還原陣 On several of nilpotent matrix Yang Jiao ( School of Mathematics and Statistics Xiaogan University Xiaogan Hubei 432020) Abstract: presents a new nilpotent matrices, proved a nilpotent matrix of equivalence conditions, modifications and improvements in some results of nilpotent matrix. Keywords: nilpotent matrix； vector； eigenvalue； the matrix trace； with reduction 1 引言：問題的提出 在 2020 年全 國碩士研究生入學考試試卷（數(shù)學一、二、三）中有這樣一道解答題： 題目 [1] 設 1 1 11 1 10 4 2A???????????? ，1112???????????? （Ⅰ）求滿足 21A??? ， 2 31A??? 的所有向量 23,??； （Ⅱ）對（Ⅰ）中的任一向量 23,??，證明： 1 2 3,? ? ? 線性無關． 我們先來看看供題者提供的參考答案： 解 （Ⅰ） 解方程 21A??? 2 ? ?11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 10 4 2 2 0 2 1 1 0 0 0 0A ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， rank( ) 2A ? ，故有一個自由變量 .令 23?x ，由 0?Ax 解得 2 1x?? ， 1 1x? ，求特解，令 021 ??xx ，得 13?x .故 ???????????????????????10021112 k?，其中 1k 為任意常數(shù) . 解方程 2 31A??? ， ?????????????0440220222A ，?????????????? ????????????????0000000021011204410221022),( 12 ?A ， 故有兩個自由變量 .令 12 ??x ， 03?x ，由 02 ?xA 得 11?x ， 令 02?x ， 13?x ，由 02 ?xA 得 01?x . 求特解????????????????00212? ，故?????????????? ?????????????????????????0021100011323 kk? ,其中 2k ,3k 為任意常數(shù) . （Ⅱ）由于行列式 021121021002111221211,2321312121321 ???????????????kkkkkkkkkk???， 故向 量組 1 2 3,? ? ? 線性無關． 這道試題 將矩陣的計算、 線性方程組的 求 解 以及 向量組線性無關 的證明融為一體 ， 立意于平實處見新穎 ， 背景公平 ， 知能并舉 ， 考查了 相應的 知識點． 解答完本題 ，筆者感覺到可以使兩個線性方程組都有解，而且能使 （Ⅱ） 中的任何三個 向量 1 2 3,?? ? 都 線性無關 ，對于矩陣 A 及向量 1? 的構造，是否有一些特別的要 3 求？或者帶有某種巧 合？ 在 對試題構思精密 贊嘆 之余， 我們很想知道 :命題人是以什么為素材研 制 本題的 ？即試題的設計是以哪些知識材料為背景的？我們希望對該試題的的命題 思路做些分析 ，以回答以上問題 ． 對試題中的矩陣 A ， 通過計算可得 3 0A? ，但 2 0A? ， 滿足該性質(zhì)的矩陣 A稱之為 3? 冪零矩陣 ． 定義 1[2]