【正文】 福建省漳州市東山二中 20212021 學年高三（上）期末數(shù)學試卷（理科） 一、選擇題：（本大題共 10小題，每小題只有一個正確選項，每小題 5分，共 50 分） 1．設(shè)復數(shù) z滿足 ，則 =（ ） A．﹣ 2+i B．﹣ 2﹣ i C． 2+i D． 2﹣ i 2．設(shè)集合 P={x| =0}，則集合 P的所有子集個數(shù)是（ ） A． 2 B． 3 C． 7 D． 8 3．下列結(jié)論正確的是（ ） A．若向量 ∥ ，則存在唯一的實數(shù) λ 使得 =2λ B．已知向量 ， 為非零向量，則 “ ， 的夾角為鈍角 ” 的充要條件是 “ ， ＜ 0” C．命題：若 x2=1，則 x=1或 x=﹣ 1的逆否命題為：若 x≠1 且 x≠ ﹣ 1，則 x2≠1 D．若命題 P： ? x∈ R， x2﹣ x+1＜ 0，則￢ P： ? x∈ R， x2﹣ x+1＞ 0 4．設(shè)隨機變量 ξ 服從正態(tài)分布 N（ 3， 4），若 P（ ξ ＜ 2a﹣ 3） =P（ ξ ＞ a+2），則 a的值為（ ） A． B． C． 5 D． 3 5．等比數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，若 S2n=4（ a1+a3+?+a 2n﹣ 1）， a1a2a3=27，則 a6=（ ） A． 27 B． 81 C． 243 D． 729 6．設(shè)函數(shù) f（ x） =3sin（ ωx +φ ）（ ω ＞ 0，﹣ ＜ φ ＜ ）的圖象關(guān)于直線 x= 對稱，它的周期是 π ，則（ ） A． f（ x）的圖象過點（ 0， ）， B． f（ x）的一個對稱中心是（ ， 0） C． f（ x）在 [ ， ]上是減函數(shù) D．將 f（ x）的圖象向右平移 |φ| 個單位得到函數(shù) y=3sinωx 的圖象 7．圖一是某校學生身高的條形統(tǒng)計圖，從左到右表示學生人數(shù)依次記為 A A ? 、 A10（如A2表示身高在 [150， 155）內(nèi)的人數(shù)）．圖二是統(tǒng)計圖一中身高在一定范圍內(nèi)學生人數(shù)的一個 算法流程圖．現(xiàn)要統(tǒng)計身高在 [160， 180）內(nèi)的學生人數(shù)，那么 在流程圖中的判斷框內(nèi)應填寫的條件及輸出的 s值分別是（ ） A． i＜ 6， 1000 B． i＜ 7， 1500 C． i＜ 8， 1850 D． i＜ 9， 2050 8．如圖，用一邊長為 的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將表面積為 4π 的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（ ） A． B． C． D． 9．已知橢圓 C1： + =1（ a1＞ b1＞ 0）與雙曲線 C2： ﹣ =1（ a2＞ 0， b2＞ 0）有相同的焦點 F1， F2，點 P是兩曲 線的一個公共點， a1， a2又分別是兩曲線的離心率，若 PF1⊥PF 2，則 4e12+e22的最小值為（ ） A． B． 4 C． D． 9 10．已知 f（ x）， g（ x）都是定義在 R上的函數(shù)， g（ x） ≠0 ， f′ （ x） g（ x）＞ f（ x） g′（ x），且 f（ x） =ax?g（ x）（ a＞ 0，且 a≠1 ）， ，若數(shù)列的前 n項和大于 62，則 n的最小值為（ ） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 二、填空題：（本大題共 5小題，每小題 4分，共 20分） 11．設(shè)二項式 的展開式中常數(shù)項為 A，則 A= ． 12．平面向量 與 的夾角為 60176。 ， =（ 2， 0）， | |=1，則 = ，| +2 |= ． 13．記集合 A={（ x， y） |x2+y2≤16} 和集合 B={（ x， y） |x+y﹣ 4≤0 ， x≥0 ， y≥0} 表示的平面區(qū)域分別為 Ω 1， Ω 2，若在區(qū)域 Ω 1內(nèi)任取一點 M（ x， y），則點 M落在區(qū)域 Ω 2的概率為 ． 14．設(shè) ，則函數(shù) 的最大值為 ． 15．已知兩個正數(shù) a， b，可按規(guī)則 c=ab+a+b擴充為一個新數(shù) c，在 a， b， c三個數(shù)中取兩個較大的數(shù)，按上述規(guī)則擴充得到一個新數(shù) ，依次下去，將每擴充一次得到一個新數(shù)稱為一次操作．若 p＞ q＞ 0，經(jīng)過 6次操作后擴充所得的數(shù)為（ q+1） m（ p+1） n﹣ 1（ m， n為正整數(shù)），則 m+n的值為 ． 三、解答題：本大題共 5小題，共 80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 16．已知 f（ x） = ? ，其中 =（ 2cosx，﹣ sin2x）， =（ cosx， 1）， x∈ R． （ 1）求 f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間； （ 2）在 △ABC 中，角 A， B， C所對的邊分別為 a， b， c， f（ A） =﹣ 1， a= ，且向量 =（ 3，sinB）與 =（ 2， sinC）共線，求邊長 b和 c的值． 17．空氣質(zhì)量指數(shù)（簡稱 AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其數(shù)值越大說明空氣污染越嚴重，為了及時了解空氣質(zhì)量狀況，廣東各城市都設(shè)置了實時監(jiān)測站．下表是某網(wǎng)站公布的廣東省內(nèi) 21個城市在 2021年 12月份某時刻實時監(jiān)測到的數(shù)據(jù)： 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 廣州 118 東莞 137 中山 95 江門 78 云浮 76 茂名 107 揭陽 80 深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇慶 48 清遠 47 佛山 160 惠州 113 汕頭 88 汕尾 74 陽江 112 韶關(guān) 68 梅州 84 （ 1）請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，完成下列表格： 空氣質(zhì)量 優(yōu)質(zhì) 良好 輕度污染 中度污染 AQI值范圍 [0， 50） [50， 100） [100， 150） [150， 200） 城市個數(shù) （ 2）統(tǒng)計部門從空氣質(zhì)量 “ 良好 ” 和 “ 輕度污染 ” 的兩類城市中采用分層抽樣的方式抽取6個城市，省環(huán)保部門再從中隨機選取 3個城市組織專家進行調(diào)研，記省環(huán) 保部門 “ 選到空氣質(zhì)量 “ 良好 ” 的城市個數(shù)為 ξ” ，求 ξ 的分布列和數(shù)學期望． 18．如圖， △ABC 的外接圓 ⊙O 半徑為 ， CD⊥⊙O 所在的平面， BE∥CD ， CD=4， BC=2，且BE=1， tan∠AEB=2 ． （ 1）求證：平面 ADC⊥ 平面 BCDE； （ 2）試問線段 DE上是否存在點 M，使得直線 AM與平面 ACD所成角的正弦值為 ？若存在，確定點 M的位置，若不存在，請說明理由． 19．已知 x∈ [0， 1]，函數(shù) f（ x） =x2﹣ ln（ x+ ）， g（ x） =x3﹣ 3a2x﹣ 4a． （ 1）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間和值 域； （ 2）設(shè) a≤ ﹣ 1，若 ? x1∈ [0， 1]，總存在 x0∈ [0， 1]，使得 g（ x0） =f（ x1）成立，求 a的取值范圍． 20．已知拋物線 F的頂點為坐標原點，焦點為 F（ 0， 1）． （ 1）求拋物線 F的方程； （ 2）若點 P為拋物線 F的準線上的任意一點，過點 P作拋物線 F的切線 PA與 PB，切點分別為 A， B．求證：直線 AB 恒過某一定點； （ 3）分析（ 2）的條件和結(jié)論，反思其解題過程，再對命題（ 2）進行變式和推廣，請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的真命題，不要求證明（說明：本小題將根據(jù)所給出的命題的正確性和一般性酌情給分） 四、（本小題滿分 14分）本題設(shè)有 2 2 23三個選答題，每小題 14分，請考生任選 2個小題作答，滿分 14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時，在答題卡上把所選題號填入括號中 .[選修 42：矩陣與變換 ] 21．已知矩陣 M= ，記繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) 的變換所對應的矩陣為 N． （ Ⅰ ）求矩陣 N； （ Ⅱ ）若曲線 C： xy=1在矩陣 MN對應變換作用下得到曲線 C′ ，求曲線 C′ 的方程． [選修 44：坐標系與參數(shù)方程 ] 22．（ 2021秋 ?漳州校級期末）已知直線 l的參數(shù)方程是 （