數(shù)理統(tǒng)計(jì)之區(qū)間估計(jì)(專業(yè)版)
【正文】 引言 前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì) . 它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù) . 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大 . 區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷 . 譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù) N的極大似然估計(jì)為 1000條 . 若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信 N 的真值位于其中 . 這樣對魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了 . 實(shí)際上， N的真值可能大于 1000條， 也可能小于 1000條 . 也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的 可靠程度 相信它包含真參數(shù)值 . ?湖中魚數(shù)的真值 [ ] 這里所說的“ 可靠程度 ”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平 . 習(xí)慣上把置信水平記作 ??1? ，這里 是一個(gè) 很小的正數(shù) . 置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的 . 例如，通?？扇≈眯潘? = . ??1 ???? ???? 1}??{21P根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我 ]?,?[ 21 ??小的區(qū)間 ，使 們求出一個(gè)盡可能 置信區(qū)間 . ?稱區(qū)間 為 的 ]?,?[ 21 ???置信水平為 的 尋找置信區(qū)間的方法 ,一般是從確定誤差限 入手 . ???? ???? 1}|?{|P使得 稱 為 與 之間的誤差限 . ???? 我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量 ， 根據(jù)置信水平 ， 可以找到一個(gè)正數(shù) ， ????1 ?只要知道 的概率分布，確定誤差限并不難 . ? 下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義 ,并通過例子說明求置信區(qū)間的方法 . ????? ???? ???由不等式 ?? ?? |?|可以解出 ： 這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間 . 教材 180頁已經(jīng)給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)（分位點(diǎn)）的定義，為便于應(yīng)用，這里我們再簡要介紹一下 . 在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位數(shù) . 設(shè) 0 1, 對隨機(jī)變量 X，稱滿足 ?? ?? )( xXP的點(diǎn) 為 X的概率分布的上 分位數(shù) . ??x ?例如 : ?u ? 設(shè) 0 1, 對隨機(jī)變量 X，稱滿足 ?? ?? )( xXP?的點(diǎn) 為 X的概率分布的上 分位數(shù) . ?x ?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 上 分位數(shù) ?u??例如 : )3(2 02 ?? )(2 97 設(shè) 0 1, 對隨機(jī)變量 X，稱滿足 ?? ?? )( xXP?的點(diǎn) 為 X的概率分布的上 分位數(shù) . ?x ? 分布的上 分位數(shù) ? )(2 n??2?自由度為 n的 ? 設(shè) 0 1, 對隨機(jī)變量 X，稱滿足 ?? ?? )( xXP?的點(diǎn) 為 X的概率分布
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