【正文】 2 d ＝ n ( a 1 ＋ d ) ＋ n ( n － 1) d ＝ n ( a 1 ＋ nd ) ． 故S 奇S 偶＝? n ＋ 1 ?? a 1 ＋ nd ?n ? a 1 ＋ nd ?＝n ＋ 1n. ∴ 應選 B. 解法 2 ： ∵ S 奇 ＝ a1＋ a3＋ a5＋ … ＋ a2 n ＋ 1 ＝? n ＋ 1 ?? a1＋ a2 n ＋ 1?2， S 偶 ＝ a2＋ a4＋ a6＋ … ＋ a2 n＝n ? a2＋ a2 n?2， 又 ∵ a1＋ a2 n ＋ 1＝ a2＋ a2 n， ∴S 奇S 偶＝n ＋ 1n. ∴ 應選 B. 方法 3 ：取滿足條件的等差數(shù)列： 1,2,3 ，公差 d ＝ 1 ，且 S奇 ＝ 1 ＋ 3 ＝ 4 ， S 偶 ＝ 2. S 奇S 偶＝42＝ 2 ＝1 ＋ 11. ∴ 應選 B. [ 答案 ] B [ 方法總結 ] 關于等差數(shù)列奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和的性質． (1) 若項數(shù)為 2 n ，則 S 偶 － S 奇 ＝ a2＋ a4＋ … ＋ a2 n－ a1－ a3－ … － a2 n － 1 ＝ ( a2－ a1) ＋ ( a4－ a3) ＋ … ＋ ( a2 n－ a2 n － 1) ＝ d ＋ d ＋ … ＋ d ＝ nd . S 奇S 偶＝n2? a1＋ a2 n － 1?n2? a2＋ a2 n?＝2 an2 an ＋ 1＝anan ＋ 1＝中間相鄰項之比． (2) 若項數(shù)為 2 n － 1 ，則由等差數(shù)列的性質： a1＋ a2 n － 1＝ a2＋ a2 n － 2＝ … ＝ 2 an， ∴ S 偶 ＝ a2＋ a4＋ … ＋ a2 n － 2 ＝n － 12( a2＋ a2 n － 2) ＝n － 12 2 an＝ ( n － 1) an， S 奇 ＝ a1＋ a3＋ … ＋ a2 n － 1＝n2( a1＋ a2 n － 1) ＝n2 2 an＝ nan. ∴ S 奇 － S 偶 ＝ nan－ ( n － 1) an＝ an，這里 an＝ a 中 ，S 奇S 偶＝nan? n － 1 ? an＝nn － 1＝奇數(shù)項與偶數(shù)項的項數(shù)之比． 熟悉并掌握性質，對我們解題大有裨益． (1)在項數(shù)為 2n＋ 1的等差數(shù)列中 ， 所有奇數(shù)項的和為 165，所以偶數(shù)項的和為 150， 則 n等于 ( ) A． 9 B． 10 C． 11 D． 12 (2)設 Sn為等差數(shù)列的前 n項和 ， 若 Sm＝ 40， S3m＝ 345， 則S2m＝ ________. [答案 ] (1)B (2)155 [ 解析 ] (1) 由S 奇S 偶＝? n ＋ 1 ? 10n? n ≥ 2 ?. 本節(jié)思維導圖 等差數(shù)列前 n 項和??????? 等差數(shù)列前 n 項和與二次函數(shù)的關系等差數(shù)列的前 n 項和最值等差數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項和的性質a n 與 S n 的關系 。 ? a2＋ a2 n?2＝n ＋ 1n＝165150. 解得： n ＝ 10. (2) ∵ Sm， S2 m－ Sm， S3 m－ S2 m成等差數(shù)列， ∴ 2( S2 m－ Sm) ＝ Sm＋ S3 m－ S2 m， ∴ 2( S2 m－ 40) ＝ 40 ＋ 345 － S2 m. ∴ S2 m＝ 155. 在等差數(shù)列 {an}中 ， a1＝ 25， S17＝ n項和 Sn的最大值 ． [分析 ] 可先由已知條件求出公差 ， 進而得前 n項和公式 ，從而二次函數(shù)求最值的方法求解；也可以先求得通項公式 ， 再利用等差數(shù)列的性質求解 ． 等差數(shù)列前 n項和的最值問題 [ 解析 ] 解法一：由 S 17 ＝ S 9 ，得 25 17 ＋17 ? 17 － 1 ?2d ＝ 25 9 ＋9 ? 9 － 1 ?2d ， 解得 d ＝－ 2 ， 所以 S n ＝ 25 n ＋n ? n － 1 ?2 ( － 2) ＝－ ( n － 13)2＋ 169. 由二次函數(shù)性質，得當 n ＝ 13 時， S n 取得最大值 169. 解法二：先求出 d ＝－ 2( 同解法一 ) ． ∵ a1＝ 250 ， d ＝－ 2 ， ∴????? an＝ 25 － 2 ? n － 1 ? ≥ 0an ＋ 1＝ 25 － 2 n ≤ 0，得????? n ≤ 1312n ≥ 1212. 即 1212≤ n ≤ 1312. ∴ 當 n ＝ 13 時， Sn取得最