【正文】 17:09:2817:09:2817:092/26/2023 5:09:28 PM ? 1越是沒有本領(lǐng)的就越加自命不凡。 2023年 2月 26日星期日 下午 5時 9分 28秒 17:09: ? 1比不了得就不比，得不到的就不要。 fS??? ?,ij, 1 ,i j i jffS? ?D, , 1i j i jS ??D, 1 , 12i j i jS???Dft??? ?,ijft?? itD? ?1?D1, ,i j i jffftt? ?? ??D22fS??? ?,1ij?fS? , 1 ,i j i jS? ?D, 1 , , , 12 , 1 , 1 ,222i j i j i j i ji j i j i jf f f ff f fSSfS S S?????????????DD? ????? D D? ?2oSD 隱形有限差分方法 1/21/2023 48 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 差分方程 把以上三個近似代入布萊克－舒爾斯偏微分方程，整理得到： 其中， , 1 , , 1 1 ,j i j j i j j i j i ja f b f c f f? ? ?? ? ?221122ja rj t j t?? D ? D221jb j t r t?? ? D ? D 2211jc rj t j t?? ? D ? D0,1,..., 1iN??0 ,1, ..., 隱形有限差分方法 1/21/2023 49 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 邊界條件 1. 時刻看跌期權(quán)的價值為 其中 2. 當(dāng)股票價格為零時，下方邊界 上所有格點(diǎn)的期權(quán)價值： 3. 當(dāng)股票價格趨于無窮時 T ? ?, m a x , 0N j Tf X S??TS j S?D0,1,...,jM?0S?,0ifX?0,1,...,iN,iMf ?0,1,...,? 隱形有限差分方法 1/21/2023 50 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 求解期權(quán)價值： 聯(lián)立 個方程： 和 時， 時， 解出每個 的期權(quán)價值 最后可以計算出 ，當(dāng) 等于初始資產(chǎn)價格時，該格點(diǎn)對應(yīng)的 就是我們要求的期權(quán)價值。 假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一次紅利，除息日 τ在到之間，則在時刻不確定部分的價值為： * ( ) ( )S i t S i tD ? D 當(dāng) 時 it?D?* ( )( ) ( ) r i ti t S i t D e ?? ? DD ? D ?當(dāng) 時（表示紅利） ?D?在 時刻： 當(dāng) 時，這個樹上每個結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的證券價格為： tiDit?D? * ( )0 j i j r i tS u d D e ?? ? ? D?當(dāng) 時，這個樹上每個結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的證券價格為： ?ti *0 j i jS u d ?0 ,1, ,ji?（ 為零時刻的 值） *0S*S 已知紅利額 1/21/2023 30 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 利率是時間依賴的情形 假設(shè) ，即在時刻 的結(jié)點(diǎn)上，其應(yīng)用的利率等于 到 時間內(nèi)的遠(yuǎn)期利率，則： ? ?r f t?t ttt?D? ?f t tedpudD ?? ? ? ?1f t tuep udD??? ?這一假設(shè)并不會改變二叉樹圖的幾何形狀，改變的是上升和下降的概率，所以我們?nèi)匀豢梢韵笠郧耙粯訕?gòu)造出二叉樹圖 1/21/2023 31 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 的二叉樹圖 ?在確定參數(shù) 、 和 時，不再假設(shè) ，而令 ，可得： ud1ud? ? ? ?2 22r q t tue ? ?? ? D ? D? ? ?2 22r t tde ? ?? D ? D?該方法優(yōu)點(diǎn)在于無論 和 如何變化，概率總是不變的 ?tD 1/21/2023 32 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 三叉樹圖 每一個時間間隔 內(nèi)證券價格有三種運(yùn)動的可能： 從開始的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ； 保持不變，仍為 ； 下降到原先的 倍，即 tDSuSudS SS dS u S u2 S u3 S u2S uS uSSS dS d S d3 S d2 S d2 1/21/2023 33 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 一些相關(guān)參數(shù)： 3 tue? D?1du?22112 2 6dtp r q ????D? ? ? ? ?????22112 2 6utp r q ????D? ? ? ?????23mp ? 1/21/2023 34 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 控制方差技術(shù) 基本原理：期權(quán) A和期權(quán) B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán) B的解析定價公式，而只能得到期權(quán) A的數(shù)值方法解。(180。 + 180。 假設(shè)： （ 代表期權(quán) B的真實(shí)價值， 表示關(guān)于期權(quán) A的較優(yōu)估計值， 和 表示用同一個二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計值） 則期權(quán) A 的更優(yōu)估計值為： ?BBff???AA?f Af?Af?f ?? ?BBff?? 1/21/2023 35 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 在使用三叉樹圖為美式期權(quán)定價時，當(dāng)資產(chǎn)價格接近執(zhí)行價格時和接近到期時，用高密度的樹圖來取代原先低密度的樹圖。 1M? 1 , 1 1 , 1 , 1 ,j N j j N j j N j N ja f b f c f f? ? ? ? ?? ? ?1,..., 1jM??0j? 1,0NfX? ?jM1, 0NMf ? ?1,Njf ?0,jfjSD 隱形有限差分方法 1/21/2023 51 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 頁面呈現(xiàn) 顯性有限差分法： 其中， 即直接從 時刻的三個相鄰格點(diǎn)的 期權(quán)價值求出 時刻資產(chǎn)價格為 時 的期權(quán)價值，可理解為從格點(diǎn)圖外部推知內(nèi) 部格點(diǎn)期權(quán)價值的方法 * * *, 1 , 1 1 , 1 , 1i j j i j j i j j i jf a f b f c f? ? ? ? ?? ? ?* 2 21 1 11 2 2ja rj t j trt ???? ? D ? D???D ??? ?* 2 21 11jb j trt ?? ? D?D* 2 21 1 11 2 2jc rj t j trt ?? D ? D?D? ?1it?DDjSD ijf 1, 1ijf ??1,ijf ?1, 1ijf ?? 顯形有限差分方法 1/21/2023 52 陜西科技大學(xué)理學(xué)院 有限差分方法 樹圖方法 相同點(diǎn)：兩種方法都用離散的模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運(yùn)動 不同點(diǎn)：樹圖方法中包含了資產(chǎn)價格的擴(kuò)散和波動率情形； 有限差分方法中的格點(diǎn)則是固定