【正文】 計(jì)算因子得分 圖 因子得分設(shè)定對(duì)話框 96 在圖 （ Display）： （ 1） Table summary，以表的形式顯示因子得分系數(shù)、不確定性指標(biāo)、有效系數(shù)和單一性測(cè)量； （ 2） Spreadsheet，因子得分值表； （ 3） Line graph，得分線性圖； （ 4） Scatterplot，成對(duì)因子的得分散點(diǎn)圖； （ 5） Biplot graph，成對(duì)因子得分和載荷的雙標(biāo)圖。 )2,1(,)]([)(22112211pirbrbrbZbZbZbZEFZElipjpijijpjpjjijiij???????????? ),2,1(1111111mjlrbrblrbrbpjppjppjjpjpj???????????????????1??? RLB ZRLBZF 1? ????93 3．因子得分的評(píng)價(jià) 由于因子的不確定性，使得大量學(xué)者關(guān)注模型估計(jì)結(jié)果評(píng)價(jià)的問題。 例 影響我國物價(jià)波動(dòng)多因素的因子分析（ 2） 本例對(duì)例 進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，希望得到更好的結(jié)果，本例進(jìn)行了兩次旋轉(zhuǎn)以后，總方差變化不大，結(jié)束旋轉(zhuǎn)。每一次旋轉(zhuǎn)以后，所得載荷矩陣各列平方的相對(duì)方差之和總會(huì)比上一次有所增加，而另一方面由于載荷矩陣每一個(gè)元素的絕對(duì)值均不大于 1，因此，其方差最終一定會(huì)收斂于某一個(gè)極限。采用表 差和剩余方差，如對(duì)于第一個(gè)變量， = =。 (7) 自由度修正 可以選擇使用極大似然估計(jì)量或者自由度修正規(guī)則計(jì)算協(xié)方差。例如，對(duì)主成分估計(jì)方法，初始的公共方差是構(gòu)建估計(jì)的基礎(chǔ)。 2/))((???ln)6/)542(1( 22 mpmpmpnn?????????????? ?????? ?SΨLL)1812(21 ???? ppm60 例 紐約股票交易所股票收益率的因子分析（ 1） 曾有學(xué)者研究了紐約票股交易所的 5只股票（阿萊德化學(xué)（ allied）、杜邦 (dupont)、聯(lián)合碳化物 (union)、?？松?(exxon)和德士古 (texaco)）從 1975年 1月到 1976年 12月期間周回報(bào)率之間的關(guān)系（數(shù)據(jù)見本章附錄）。只需要計(jì)算離差矩陣（相關(guān)矩陣、協(xié)方差矩陣）的特征值，特征值超過平均值的個(gè)數(shù)作為因子個(gè)數(shù)。 由于 ，因此似然函數(shù)可以更清楚地表示為 L(? , L, ? )，記 (? , L, ? )的估計(jì)量為 ，則有 （ ） ΨLLΣ ??? )???( Ψ,L,μ ),(max)?,?,?( ΨLμΨLμ LL ?47 2．主成分方法 用主成分法確定因子載荷，就是對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行主成分分析，把前面幾個(gè)主成分作為原始公共因子。 本節(jié)將從這幾個(gè)角度給出詳細(xì)的介紹。在該對(duì)話框中，還可以設(shè)定計(jì)算使用的觀測(cè)值樣本。 23 圖 主成分估計(jì)對(duì)話框 (1) 24 25 表頭描述了觀測(cè)值的樣本區(qū)間、計(jì)算離差矩陣的方法以及保留成分的個(gè)數(shù)（在這個(gè)例子中顯示了所有的 5個(gè)主成分）。通常需要綜合考慮樣本總方差的量、特征值的相對(duì)大小以及各成分對(duì)現(xiàn)實(shí)的闡述。 122221 ???? ipii aaa ?1?? iaa i6 總體主成分求解及其性質(zhì) 變量的方差大小及其對(duì)原始變量波動(dòng) (方差 )的貢獻(xiàn)大小，而對(duì)于原始隨機(jī)變量 X1， X2， … ， Xp，其協(xié)方差矩陣或相關(guān)矩陣正是對(duì)各變量離散程度和相關(guān)程度的度量。 本章介紹的主成分分析和因子分析可用于解決這類問題 。因此，主成分的求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍? X1, X2, …, Xp 協(xié)方差矩陣 ? 的特征值和特征向量的問題。第三個(gè)經(jīng)驗(yàn)的判斷方法是只保留那些方差大于 1的主成分。 表的第二部分描述了線性組合的系數(shù)，第一個(gè)主成分（標(biāo)為“ PC1”）大約等于所有 5個(gè)一致指標(biāo)的線性組合，它可以解釋為一般的經(jīng)濟(jì)景氣指數(shù)。也可以根據(jù)需要保存對(duì)應(yīng)得分的載荷、特征值和特征向量。 pmpmpppmmmmFlFlFlZFlFlFlZFlFlFlZ???????????????????????221122222121211212111139 式（ ）進(jìn)一步可以表示為下面的矩陣形式 （ ） 其中， F = (F1, F2 , …, Fm)?； ? = (?1, ?2 , …, ?p)?。 i? iii YF ?/? jiiijl ?????????????????????????pmpmpppmmmmFlFlFlZFlFlFlZFlFlFlZ???????221122222121211212111150 3．迭代主成分方法（ Iterated Principal Factors） 迭代主成分方法也叫主因子法，或主軸因子方法 ， 是對(duì)主成分法的一種修正。當(dāng)前者超過后者時(shí)，所對(duì)應(yīng)的 j即為應(yīng)該保留的因子個(gè)數(shù)（ Jackson, 1993）。 62 因子分析的實(shí)現(xiàn) EViews中因子分析的實(shí)現(xiàn)是通過因子對(duì)象完成的。當(dāng) EViews在計(jì)算中遇到 Heywood情況時(shí)，有幾種方法是可選擇的。其它相對(duì)應(yīng)的公共方差和剩余方差以此類推。公共因子是否容易解釋，很大程度上取決于因子載荷矩陣 L 的元素結(jié)構(gòu)。默認(rèn)的，在旋轉(zhuǎn)前， EViews不列出載荷權(quán)重。 88 因子得分 前面介紹了如何獲得公共因子和估計(jì)因子載荷矩陣，但有時(shí)候需要把公共因子表示成原始變量的線性組合，對(duì)每個(gè)樣本計(jì)算公共因子的估計(jì)值，也就是求因子得分，因子得分可以作為進(jìn)一步分析的原始數(shù)據(jù)。這些指標(biāo)的取值在 0和 1之間，數(shù)值越大越好。 98 3．得分序列 在計(jì)算得分時(shí)，需要給定可觀測(cè)變量的集合以及相應(yīng)的樣本，得分的計(jì)算將基于給定樣本范圍內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)化后觀測(cè)值的線性組合得到。 Rfs 的對(duì)角元素被稱為有效性系數(shù)，這些系數(shù)在 1到 1之間，較高的正值是理想的。采用誤差方差的倒數(shù)作為權(quán)系數(shù)，則誤差平方的加權(quán)和可以表示為： （ ） εLFZ ?? )()( 1112LFZΨLFZεΨεε ?????? ????pi ii?90 選擇 F的估計(jì)值使得式（ ）最小化，其解為： （ ） 當(dāng)采用極大似然法求解因子載荷矩陣時(shí)，需要滿足唯一性條件： L?? L是對(duì)角矩陣。 EViews的估計(jì)結(jié)果將列出旋轉(zhuǎn)的載荷、因子相關(guān)關(guān)系、因子旋轉(zhuǎn)矩陣、旋轉(zhuǎn)后的載荷矩陣和旋轉(zhuǎn)目標(biāo)函數(shù)值。正交旋轉(zhuǎn)與斜交旋轉(zhuǎn)區(qū)別就在于：正交旋轉(zhuǎn)得到的新公共因子仍然是相互獨(dú)立的，但斜交旋轉(zhuǎn)則放寬了這一限制。受國內(nèi)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)、居民收入及財(cái)富變化、生產(chǎn)成本價(jià)格上漲、國際石油、糧食等原材料價(jià)格的影響使得我國物價(jià)的波動(dòng)變得極其復(fù)雜。默認(rèn)的，如果遇到缺失數(shù)據(jù)， EViews將刪除相關(guān)變量中的缺失數(shù)據(jù)。 65 (2) 因子數(shù) （ Number of factors） EViews提供了很多的方法選擇因子數(shù)，各種方法的簡要概括可參考 。式（ ）的統(tǒng)計(jì)量服從 ?2分布。特殊的可以取 ? =1，此時(shí)結(jié)果等同于主成分求解得到的結(jié)果。 iimiii lllZ ?????? 22221)var( ?21222221 imjijimii hllll ????? ???1)var( 2 ??? iii hZ ?44 式（ ）表明， hi2 接近 1時(shí)， ?i 接近 0，說明 Zi 包含的幾乎全部信息都可以被公因子解釋；當(dāng) hi2 接近 0 時(shí)，表明公共因子對(duì) 的影響不大，主要由特殊因子描述。研究多指標(biāo)問題時(shí)常常會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些指標(biāo)相關(guān)性形成的背景原因是各種各樣的，其中共同的原因稱為公共因子；每一個(gè)變量也含有其特定的原因，成為特定（特殊）因子。如圖 。在窗口中有兩個(gè)切換鈕：第一個(gè)鈕標(biāo)著Components，第二個(gè)鈕標(biāo)著 Calculation，控制著組中各序列離差矩陣的計(jì)算和估計(jì)。性質(zhì) 3可以進(jìn)一步表示為： （ ） )()( 12/1 μXVeZe iii ????? ?Y pi ,2,1 ?? pkieZYrkkiik ,2,1,),( ??? ?15 樣本的主成分 1．樣本統(tǒng)計(jì)量 在實(shí)際工作中，我們通常無法獲得總體的協(xié)方差矩陣 ?和相關(guān)矩陣 R。由式（ ）可以看出將系數(shù)向量 ?i 擴(kuò)大任意倍數(shù)會(huì)使 Yi 的方差無限增大，為了消除這種不確定性，增加約束條件： pjiYYpiYjijiii,2,1,),cov (,2,1)var(????????ΣααΣαα i1?? iaa i5 為了有效地反映原始變量的信息， Y的不同分量包含的信息不應(yīng)重疊。每個(gè) Yi 應(yīng)盡可能多地反映 p 個(gè)原始變量的信息，通常用方差來度量“信息”， Yi 的方差越大表示它所包含的信息越多。如果仍然采用（ λi ， ei）表示相關(guān)矩陣 R對(duì)應(yīng)的特征值和標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，根據(jù)式（ ）有： （ ） 由相關(guān)矩陣求得的主成分仍然滿足性質(zhì) 1～ 3。首先將所涉及的變量建成一個(gè)組 (g1)，選擇組菜單的 View/Principal Components...，出現(xiàn)如圖。在對(duì)話框的下面將發(fā)生改變，可以選擇顯示特征值（碎石圖）、特征值的差、方差累積貢獻(xiàn)率其中之一，或是全部。斯皮爾曼（ Charles Spearman）對(duì)學(xué)生考試成績的研究。 ?i 稱為特殊方差，或者剩余方差。 iii r/1* ??1??R iiii rh /111? *2 ???? ?ijjii rh ?? max? 253 （ 3） 對(duì)角線比例方法 （ fraction of diagonals） 該方法使用相關(guān)矩陣（或協(xié)方差矩陣）對(duì)角線元素的固定比例 ?。 ΨLLΣ ???:0H58 在原假設(shè)成立的條件下可以構(gòu)造下面的似然比統(tǒng)計(jì)量 （ ） 其中 Sn 表示協(xié)方差矩陣的極大似然估計(jì)； ，其中 和 分別表示 L 和 ? 的極大似然估計(jì)量，而 是 的極大似然估計(jì)量。選擇不同的方法，在右邊的屬性部分將會(huì)顯示不同的設(shè)置。 (4) 樣本（ Sample） 該項(xiàng)主要用于設(shè)定用于分析的觀測(cè)值的樣本，同時(shí)表明是否希望樣本是均衡的。 例 影響我國物價(jià)波動(dòng)多因素的因子分析（ 1） 隨著我國市場(chǎng)化程度的深化以及經(jīng)濟(jì)全球化進(jìn)程的加快，我國物價(jià)的波動(dòng)不僅反映了國內(nèi)市場(chǎng)中總供給和總需求的矛盾，而且受國際經(jīng)濟(jì)的影響，尤其是國際市場(chǎng)價(jià)格的影響也越來越大。因子的旋轉(zhuǎn)方法有正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)。 設(shè)置完畢單擊 OK即可。如果 var(?i) = ?i 對(duì)于 i = 1, 2, …, p 不全相等，巴特萊特（ Bartlett， 1937）建議采用加權(quán)最小二乘法。一般來說，希望這些矩陣是相似的。 EViews自動(dòng)在 Observables編輯框中填入用于計(jì)算的原始變量的名字，需要選擇標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)采用估計(jì)得到的矩還是原觀測(cè)值的矩（均值）。 第二類不確定性指標(biāo)給出可供選擇的因子得分之間的最小相關(guān)系數(shù) r*， r* = 2r21。例如：對(duì)學(xué)生的各科成績進(jìn)行分析，可發(fā)現(xiàn)依賴于兩個(gè)因子 ——全面智力和適應(yīng)開閉卷的能力，實(shí)際中我們不僅僅希望歸納出影響學(xué)生成績的因子，而且希望知道每一個(gè)學(xué)生對(duì)這兩種能力作出什么評(píng)價(jià)，或者說他在這兩個(gè)公共因子上應(yīng)打多少分。為了標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，可以點(diǎn)擊 Row weight下拉菜單選擇 Kaiser或者 CuretonMulaik。假設(shè)因子載荷矩陣 L 是基于相關(guān)矩陣得到的，則其所有元素均在 1 到