【正文】 V 水 ＝ 2 ρ 木mρ 木＝ 2 m ，其上升高度為 ( H － a ) ，故池水勢(shì)能的改變量為 Δ Ep＝ m 水 g ( H － a ) ＝ 2 mg ( H － a ) (2) 因水池面積很大，可忽略因木塊 壓入水中所引起的水深變化，木塊剛好完全沒入水中時(shí)，右圖中原來處于劃斜線區(qū)域的水被排開．效果等效于使這部分水平鋪于水面，這部分水的質(zhì)量為 m ，其勢(shì)能的改變量為 Δ E 水 ＝ mgH －mg ( H －34a ) ＝34mga ，木塊勢(shì)能改變量為 Δ E 木＝ mg ( H －12a ) － mgH ＝－12mga 由動(dòng)能定理，得力 F 所做的功為 W ＝ Δ E 水 ＋ Δ E 木 ＝14mga 【 名師點(diǎn)撥 】 該題復(fù)雜在當(dāng)木塊由開始到沉入池底的過程中 ， 都有相應(yīng)體積的水上升來填充它下沉所帶來的空位 ． 和傳統(tǒng)意義上一個(gè)實(shí)實(shí)在在物體的位置升降所帶來的勢(shì)能變化有所區(qū)別 ． 應(yīng)加以注意 ． 對(duì)于 “ 重力做功與重力勢(shì)能的變化關(guān)系 ” 還可進(jìn)一步拓展到 “ 彈力做功與彈性勢(shì)能的變化關(guān)系 ” 、 “ 分子力做功與分子勢(shì)能的變化關(guān)系 ” 、 “ 電場力做功與電勢(shì)能的變化關(guān)系 ” 中去 ． 【答案】 (1)2 mg ( H － a ) (2) 14 mga 4 ．彈性勢(shì)能 (1) 定義：物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能叫彈性勢(shì)能．用 Ep表示． (2) 公式： Ep＝12kx2，即由彈簧本身的材料 ( 勁度系數(shù) k ) 及形變量 x 決定． (3) 相對(duì)性：彈性勢(shì)能是彈簧各部分組成的系統(tǒng)所共有的，與外接物無關(guān)．一般取形變量 x ＝ 0 處的 Ep＝ 0 ，彈簧壓縮量和伸長量相同時(shí)彈性勢(shì)能相等． (4) 標(biāo)量：彈性勢(shì)能是標(biāo)量，只有大小，沒有方向，且 Ep≥ 0. 【例 4 】 如右圖所示，質(zhì)量均為 m 的物塊 A 和 B 用彈簧連接起來，將它們懸于空中靜止，彈簧處于原長狀態(tài)， A 距地面高度 h ＝ m ．同時(shí)釋放兩物塊， A 與地面碰撞后速度立即變?yōu)榱?，由?B 的反彈， A 剛好能離開地面．已知彈簧的彈性勢(shì)能 Ep與彈簧的勁度系數(shù) k 和 形變量 x 的關(guān)系是： Ep＝12kx2. 試求：B 反彈后，彈簧的最大伸長量． 【 答案 】 m 【解析】 對(duì) AB 整體自由下落過程用機(jī)械能守恒求得 A落地時(shí)， AB 的共同速度 vB,2 mgh ＝12 2 m v2B，得 vB＝ 2 gh .從此以后，物塊 B 壓縮彈簧，直至反彈，該過程物塊 B 和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng) A 剛好離開地面時(shí)，彈簧的伸長量最大，設(shè)為 x ，則對(duì) A 有： mg ＝ kx ，對(duì) B 和彈簧組成的系統(tǒng)根據(jù)機(jī)械能守恒，有12m v2B＝ mg x ＋12kx2，解得 x ＝ m 5． 機(jī)械能 機(jī)械能是動(dòng)能和勢(shì)能 (包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能 )的統(tǒng)稱 ， 它是由物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而決定的能 ， 是狀態(tài)量 、 是標(biāo)量 ． 二、機(jī)械能守恒定律 1 ． 定律的表述 只有重力 ( 或彈力 ) 做功的情形下，物體的動(dòng)能和重力勢(shì)能( 或彈性勢(shì)能 ) 發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變． 2 ．表達(dá)式 Ep＋ Ek＝恒量；或者 E2＝ E1；或者 Δ Ep＝ Δ Ek；以單一質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)狀態(tài)為例有12m v21＋ mgh1＝12m v22＋ mgh2；或者 Δ EA 增＝ Δ EB 減． 【 例 5】 如圖所示 ， 位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道 ， 由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成 ， 圓形軌道的半徑為 m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑 ， 然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng) ． 要求物塊能通過圓形軌道最高點(diǎn) ， 且在該最高點(diǎn)與軌道間的壓力不能超過 5mg(g為重力加速度 )． 求物塊初始位置相對(duì)圓形軌道底部的高度 h的取值范圍 ． 【解析】 設(shè)物塊在圓形軌道最高點(diǎn)的 速度為 v ，在從最高點(diǎn)到圓形軌道的最高點(diǎn)過程中，物塊受到重力和斜面或曲面的支持力，其中支持力不做功，只有重力做功，故機(jī)械能守恒，令最低點(diǎn)所在的平面為零勢(shì)面，有 mgh ＝ 2 mg R ＋12m v2①