【正文】 設(shè) X為有球的盒子的最大號(hào)碼，試求： 。 隨機(jī)變量的概念 定義 設(shè) E是一隨機(jī)試驗(yàn)， S 是它的樣本空間， 則稱 S 上的單值實(shí)值函數(shù) X ( ?)為 隨機(jī)變量 隨機(jī)變量一般用 X, Y , Z ,?或小寫(xiě)希臘字母 ?, ?, ? 表示 )( ?? XS 實(shí)數(shù)按一定法則 ????? ????若 隨機(jī)變量的概念 隨機(jī)變量是 RS ? ?? 上的映射，這個(gè)映射具有 如下的特點(diǎn)： 定義域 : S 隨機(jī)性 : 隨機(jī)變量 X 的可能取值不止一個(gè)， 試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知 取哪個(gè)值 概率特性 : X 以一定的概率取某個(gè)值或某些 值 引入隨機(jī)變量后，用隨機(jī)變量的等式或不 等式表達(dá)隨機(jī)事件 在同一個(gè)樣本空間可以同時(shí)定義多個(gè)隨機(jī) 變量 隨機(jī)變量的函數(shù)一般也是隨機(jī)變量 如，若用 X 表示電話總機(jī)在 9:00~10:00接到 的電話次數(shù)， }100{ ?X 或 )100( ?X—— 表示“某天 9:00 ~ 10:00 接到的電話 次數(shù)超過(guò) 100次”這一事件 則 引入隨機(jī)變量后，用隨機(jī)變量的等式或不 等式表達(dá)隨機(jī)事件 用隨機(jī)變量 ????反面向上正面向上,0,1)( ?X描述拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的結(jié)果 , 則 )1)(( ??X — 正面向上 也可以用 ????反面向上正面向上,1,0)( ?Y描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果 在同一個(gè)樣本空間可以同時(shí)定義多個(gè)隨機(jī) 變量 例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往 需要多個(gè)指標(biāo)，例如，身高、體重、頭圍等 S = {兒童的發(fā)育情況 ? } X ( ? ) — 身高 Y ( ? ) — 體重 Z ( ? ) — 頭圍 各隨機(jī)變量之間可能有一定的關(guān)系，也可能 沒(méi)有關(guān)系 —— 即 相互獨(dú)立 隨機(jī)變量的分類(lèi) 離散型隨機(jī)變量 非離散型隨機(jī)變量 — 其中一種重要的類(lèi)型為 連續(xù)型隨機(jī)變量 定義了一個(gè) x 的實(shí)值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量 X 的 分布函數(shù) ，記為 F ( x ) ,即 定義 設(shè) X 為隨機(jī)變量 , 對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù) x , 隨機(jī)事件 )( xX ? 的概率 )( xXP ????????? xxXPxF ),()(隨機(jī)變量的分布函數(shù) 注 : 分布函數(shù)的定義域 : ?????? x分布函數(shù)的性質(zhì) (1) F ( x ) 單調(diào)不減，即 )()(, 2121 xFxFxx ???(2) 1)(0 ?? xF 且 0)(lim,1)(lim ?? ?????? xFxF xx(3) F ( x ) 右連續(xù)，即 )()(lim)0( 0 xFtFxF xt ??? ??),( ???? )(xF),3(~)1()(xF上的實(shí)函數(shù) 滿足以上條件 一定是某隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)。 解 (1) }2121{}21|{| ????? XPXP??? 2121 )( dxxf ???021 )( dxxf ?? 210 )( dxxf?? ?? 021 )1( dxx ? ??210 )1( dxx21020212 |)21(|)21( xxxx ????? ????(2) ? ???????? ? ?? xdttfxF x )()(當(dāng) 1??x 時(shí) , ),(0)( xttf ????? 0)( ?xF01 ??? x當(dāng) 時(shí) , ?? ???? ?? x dttfdttfxF 11 )()()(xx ttdtt121|)21()1(0?? ????? ?2121 2 ??? xx當(dāng) 10 ?? x 時(shí) , ??? ??? ???? x dttfdttfdttfxF 0011 )()()()(?? ????? ? x dttdtt 001 )1()1(0xtttt02012 |)21(|)21( ?????2121 2 ???? xx當(dāng) 時(shí) , 1?x???? ???? ???? x dttfdttfdttfdttfxF 110011 )()()()()(10)1()1(0 1001 ??????? ??? dttdttX 的分布函數(shù)為 ???????????????????????1,110,212101,21211,0)(22xxxxxxxxxF(1) 均勻分布 ( a , b)上的均勻分布 ),(~ baUX記作 常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 若 X 的密度函數(shù)為 ，則稱 X 服從 區(qū)間 )(xf????? ????其他,0,1)(bxaabxf其中 X 的分布函數(shù)為 ??????????1,0)(abaxxFbxbxaax????,),(),( badc ??xabdXcP d1)( dc? ???? abcd???即 X 的取值在 (a,b)內(nèi)任何長(zhǎng)為 d – c 的小區(qū)間 的概率與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān) , 只與其長(zhǎng)度成正 比 . 這正是幾何概型的情形 . 在進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算時(shí)，如果在小數(shù)點(diǎn)后第 k 位進(jìn)行四舍五入，則產(chǎn)生的誤差可以看作 服從 ?????? ? ?? kkU 1021,1021應(yīng)用場(chǎng)合 例 3 秒表的最小刻度差為 . 若計(jì)時(shí)精度 是取最近的刻度值 , 求使用該秒表計(jì)時(shí)產(chǎn)生的 隨機(jī)誤差 X 的概率密度 , 并計(jì)算誤差的絕對(duì)值 不超過(guò) . ? ?~ ?UX解 由題設(shè)知隨機(jī)誤差 X 等可能地取得區(qū)間 上的任一值，則 ? ??????? ??其他,0,100)(xxf 0)00 (??? ??dxXP所以 (2) 指數(shù)分布 若 X 的概率密度為 ??? ???其他,00,)(xexfx??則稱 X 服從 參數(shù)為 ?的指數(shù)分布 X 的分布函數(shù)為 ??? ????? 0,10,0)(xexxFx??? 0 為常數(shù) 1 x F( x) 0 x f ( x) 0 對(duì)于任意的 0 a b, babaxeeaFbFxebXaP?????????????? ?)()(d)(應(yīng)用場(chǎng)合 用指數(shù)分布描述的實(shí)例有： 隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間 電話問(wèn)題中的通話時(shí)間 無(wú)線電元件的壽命 動(dòng)物的壽命 指數(shù)分布常作為各種 “壽命”分布的近似 例 4 假定一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為 t 的時(shí)間內(nèi)發(fā)生 故