102對(duì)偶空間(專業(yè)版)
【正文】 對(duì)偶空間 三、例題講析 一、 對(duì)偶空間與對(duì)偶基 對(duì)偶空間 設(shè) 是數(shù)域 上的 維線性空間， 表示 V P ( , )L V PnV上全體線性函數(shù)的集合， 在 中定義加法 ( , )L V P和數(shù)乘運(yùn)算： , ( , ) , ,f g L V P V k P?? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ,f g f g? ? ?? ? ?( ) ( ) ( )k f k f???則 構(gòu)成數(shù)域 上的線性空間，稱之為 V P( , )L V P的 對(duì)偶空間 ，記為 *.V定義 對(duì)偶基 設(shè) 為數(shù)域 上線性空間 的一組基， 12, , , n? ? ? P V作映射 ? 1,( ) , , 1 , 2, ,0,ij ijf i j nij? ??? ?則 ，且 *( , )if L V P V??1 1 2 2( ) ( ) ( ) .nnf f f? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?即， ( ) , 1 , 2 , ,iif x i n? ??有， 1 1 2 2 ,nnx x x V? ? ? ?? ? ? ? ?① 對(duì)任意 ② 線性無(wú)關(guān) . 12, , , nf f f證明 ：設(shè) 1 1 2 2 0nnk f k f k f? ? ? ?兩端作用 得 i? 0,ik ? 1 , 2 , , .in?③ 中任意線性函數(shù)可由 線性表出 . *V 12, , , nf f f證明 ： ，對(duì) ，設(shè) * ( , )g V L V P? ? ? V???1 1 2 2 nnx x x? ? ? ?? ? ? ?則 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nng x g x g x g? ? ? ?? ? ? ? 12, , , nf f f? 線性無(wú)關(guān) . 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nng f g f g f g? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
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