【正文】 g(－x)＝－f(x)偶”是奇．判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) ； (2)f(x)＝lg.解：(1)要使函數(shù)有意義，則≥0，解得－1＜x≤1，顯然f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(2)由＞0?－1＜x＜1，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．又f(－x)＝lg＝lg＝－lg＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函數(shù)是奇函數(shù)．考點(diǎn)二　函數(shù)的周期性及應(yīng)用命題點(diǎn)[例2]　(1)下列函數(shù)不是周期函數(shù)的是(　　)A．y＝sin x　　　B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)解析：y＝sin x與y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C項y＝sin|x|是偶函數(shù)，x∈(0，＋∞)與x∈(－∞，0)圖象不重復(fù)，無周期．答案：C(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則求f(－2 017)＋f(2 019)的值為________．解析：當(dāng)x≥0時，f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一個周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[方法引航]　(1)利用周期f(x＋T)＝f(x)將不在解析式范圍之內(nèi)的x通過周期變換轉(zhuǎn)化到解析式范圍之內(nèi)，以方便代入解析式求值．(2)判斷函數(shù)周期性的幾個常用結(jié)論．①f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝(a≠0)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個周期；③f(x＋a)＝－，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個周期．1．若將本例(2)中“f(x＋2)＝－”變?yōu)椤癴(x＋2)＝－f(x)”，則f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：02．若本例(2)條件變?yōu)閒(x)對于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值．解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2 019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝2.考點(diǎn)三　函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)、單調(diào)性求解不等式[例3]　(1)若函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則使f(x)＞3成立的x的取值范圍為(　　)A．(－∞，－1)　　　B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：因為函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化簡可得a＝1，則＞3，即－3＞0，即＞0，故不等式可化為＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故選C.答案：C(2)函數(shù)f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且＝.①確定函數(shù)f(x)的解析式；②用定義證明f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)；③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解：①∵在x∈(－1,1)上f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即b＝0，∴f(x)＝.又∵＝，∴＝.解得，a＝1.∴f(x)＝，經(jīng)檢驗適合題意．②證明：由f′(x)＝＝.x∈(－1,1)時，1－x2＞0，∴f′(x)＞0∴f(x)在(－1,1)上為增函數(shù)．③由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．∴得0＜t＜.(3)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，則當(dāng)x＜0時，f(x)＝(　　)A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x) C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x