近世代數(shù)--圖形的對(duì)稱變換群(專業(yè)版)
【正文】 2022/8/20 19:57 近世代數(shù) 第二章 群論 167。 11 圖形的對(duì)稱變換群、群的應(yīng)用 2022/8/20 19:57 一、圖形的對(duì)稱變換群 定義 1: 使圖形不變形地變到與它重合的變 換稱為這個(gè)圖形的對(duì)稱變換 . 定義 2： 圖形的一切對(duì)稱變換關(guān)于變換的乘 法構(gòu)成群，稱為這個(gè)圖形的 對(duì)稱變換群 . 2022/8/20 19:57 例 1 正三角形的對(duì)稱變換群 . 設(shè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為 3. 顯然，正三角形的每一對(duì)稱變換都導(dǎo)致正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的唯一一個(gè)置換 . 反之， 由正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的任一置換都可得到正三角形的唯一一個(gè)對(duì)稱變換，從而可用 3 { ( 1 ) , ( 12 ) , ( 13 ) , ( 23 ) , ( 123 ) , ( 132 ) }S ?表示正三角形的對(duì)稱變換群 . 2022/8/20 19:57 其中 (1)為恒等變換 , (1 2), (1 3), (2 3) 分 別表示關(guān)于正三角形的三個(gè)對(duì)稱軸的反射變換 , (1 2 3), (1 3 2)分別表示關(guān)于正三角形的中 心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 120度、 240度的旋轉(zhuǎn)變 換 . l3Ol1l2231l2l 1l 3l4O123 4 2022/8/20 19:57 例 2 正方形的對(duì)稱變換群 . 正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別可用 4來(lái)表示 . 于是正方形的每一對(duì)稱變換可用一 個(gè) 4次置換來(lái)表示 . 顯然， 不同的對(duì)稱變換 所對(duì)應(yīng)的置換也不同，而對(duì)稱變換的乘積對(duì) 應(yīng)了置換的乘積 . 這說(shuō)明，正方形的對(duì)稱變換 群可用一置換群來(lái)表示 . 2022/8/20 19:57 容易看出 , 正方形的對(duì)稱變換有兩類 : 第一類 : 繞中心的分別旋轉(zhuǎn) 90度， 180 度， 270度， 360度的旋轉(zhuǎn)， 這對(duì)應(yīng)于置換 (1234)， (13)(24)， (1432)， (1). 第二類 : 關(guān)于正方形的 4條對(duì)稱軸的反射 , (1 2)(3 4)， (2 4)， (1 4)(2 3)， (1 3). 這對(duì)應(yīng)于置換 所以 , 正方形的對(duì)稱變換群有上述 8個(gè)元素 . 這是四次對(duì)稱群的一個(gè)子群 . 2022/8/20 19:57 S(K)={ (1), (1234),(13)(24), (1432), (14)(23), (12)(34), (24), (13)} 1{,?? 2,? 3,? 4,? 5,? 6,? 7,? 8}?平面上正方形 ABCD的對(duì)稱變換群
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