平方根和立方根(專業(yè)版)
【正文】 平方根和立方根中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求平方根、算數(shù)平方根了解開方與乘方互為你運算，了解平方根及算術(shù)平方根的概念，會用根號表示非負數(shù)的平方根及算術(shù)平方根會用平方運算的方法，求某些非負數(shù)的平方根立方根了解立方根的概念，會用根號表示數(shù)的立方根會用立方運算的方法，求某些數(shù)的立方根小故事第一次數(shù)學(xué)危機之無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)大約公元前5世紀，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達哥拉斯悖論．當時的畢達哥拉斯學(xué)派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為四藝，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性．他們認為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，畢達哥拉斯學(xué)派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為１的直角三角形就是如此．這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，導(dǎo)致了當時認識上的危機，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機．到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了．他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中．歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致．今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處． 第一次數(shù)學(xué)危機對古希臘的數(shù)學(xué)觀點有極大沖擊．這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖，而幾何學(xué)的身份升高了．危機也表明，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命！知識點睛一 平方根、算術(shù)平方根平方根:如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根．也就是說，若，則就叫做的平方根．一個非負數(shù)的平方根可用符號表示為“”．算術(shù)平方根：一個正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的平方根，其中正的平方根叫做的算術(shù)平方根，可用符號表示為“”；有一個平方根，就是，的算術(shù)平方根也是，負數(shù)沒有平方根，當然也沒有算術(shù)平方根．（負數(shù)的平方根在實數(shù)域內(nèi)不存在，具體內(nèi)容高中將進學(xué)習(xí)研究）一個非負數(shù)的平方根不一定是非負數(shù)，但它的算術(shù)平方根一定是非負數(shù)，即若，則．平方根的計算：求一個非負數(shù)的平方根的運算，叫做開平方．開平方與平方是互逆運算，可以通過平方運算來求一
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