【正文】 ().RaXcXax???111）代入（350 ）得紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）25 (3112) 21(),RYXcX?????將（3111 ）兩邊平方得 (3113)243211()().RccX????滿足輔助方程 ，當(dāng) 有234()()dzabzc????????? ,abc時(shí)，表三就是這個(gè)方程的解．24,1bac?????由（3113 ）可知令 由此知11。()239。 作者簽名： 日期： 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說明本論文（設(shè)計(jì)）作者完全了解紅河學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計(jì)）并向相關(guān)部門送交論文（設(shè)計(jì)）的電子版和紙質(zhì)版。 exact solution紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）目錄1. 緒論 ...........................................................................................................................1 研究背景及意義 ..................................................................................................1 非線性方程的研究現(xiàn)狀 ......................................................................................1 本文的主要內(nèi)容 ..................................................................................................22. 首次積分法的思想和基本步驟 ...............................................................................3 首次積分與除法定理 ..........................................................................................3 首次積分方法的步驟 ..........................................................................................4 Drinfel’dSokolovWilson 方程 ....................................................6 Drinfel’dSokolovWilson 方程 ...........................................................................64. 總結(jié)與展望 .............................................................................................................25參考文獻(xiàn) ......................................................................................................................26附錄 ..............................................................................................................................28致謝 ..............................................................................................................................31紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）1用首次積分法求 Drinfel’dSokolovWilson方程的精確解1. 緒論 研究背景及意義在數(shù)學(xué)里，有一種非線性關(guān)系，那就是非線性現(xiàn)象．越來越多科學(xué)問題的研究，都離不開對(duì)非線性偏微分方程和非線性常微分方程的描述與研究，它廣泛應(yīng)用于地球科學(xué)、生命科學(xué)、工程技術(shù)、和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多分支當(dāng)中，如流體力學(xué)、基本粒子物理、非線性光學(xué)、地球化學(xué)、生物學(xué)等等，因此能否求解或如何求解非線性微分方程，關(guān)系到科學(xué)研究的深入和發(fā)展，越來越多的科學(xué)工作者在這一方面的研究都表示出了極大的興趣．由于非線性科學(xué)研究的深入和發(fā)展，人們對(duì)非線性現(xiàn)象的分析，從早期的只是從理論上對(duì)一些比較簡(jiǎn)單的非線性現(xiàn)象作了線性近似，到現(xiàn)在隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，非線性科學(xué)也得到了迅速的發(fā)展．人們普遍認(rèn)識(shí)到，非線性科學(xué)不僅是出于自然科學(xué)前沿的學(xué)科，而且是一門研究非線性現(xiàn)象共性的交叉學(xué)科，因此它又被譽(yù)為 20 世紀(jì)以來，繼相對(duì)論和量子力學(xué)之后的第三次“科學(xué)革命” ．越來越多的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家能夠在前人的基礎(chǔ)上不斷的研究出求解非線性方程的新方法，得到的新的精確解能夠幫助他們發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象，從而解決一些相關(guān)的問題．研究精確解也能作為數(shù)值分析中求近似解的基礎(chǔ)，解決一些其他學(xué)科所面臨的不能解決的難題，因此求解非線性方程的精確解是非常具有理論價(jià)值和使用價(jià)值的． 非線性方程的研究現(xiàn)狀近年來，由于計(jì)算機(jī)的進(jìn)步和發(fā)展，加快了非線性科學(xué)的發(fā)展．經(jīng)過多年的研究，目前求非線性微分方程的精確解已經(jīng)發(fā)展了許多方法. 如：廣田提出的雙線性方法 [1]，Gardner, Greene, Miura 等發(fā)現(xiàn)的反散射法 [2]，王明亮教授和李志斌教授提出的齊次平衡法 [3]， Malfliet 提出的雙曲正切函數(shù)法 [4]，張鴻慶提出以代數(shù)化思想求解微分方程的理論，閆依據(jù)雙曲函數(shù)法的構(gòu)造思想提出了 sine1. 緒論2cosine 方法．Liu 等人提出的雅克比橢圓函數(shù)展開法 [6]，馮兆生教授運(yùn)用可交換的代數(shù)理論，基于除法定理和 Hilbert 零點(diǎn)定理提出的首次積分方法該方法求得了很多非線性偏微分方程大量的精確解，例如 BurgersKdV 方程 [7]， 維空1?n間中一種近似的 SineGorden 方程 [8]，(2+1) 維 BurgersKdV 方程 [9]， Zhang 等人在橢圓函數(shù)展開法和雙曲正切函數(shù)法的基礎(chǔ)上提出的 F展開法 [10]． 本文的主要內(nèi)容本文利用首次積分法 [7]并結(jié)合除法定理討論了 Drinfel’dSokolovwilson 組的精確解，給出在首次積分中 的次數(shù)為 1 和 2 兩種情況下方程的行波解．特別y地，并結(jié)合參照文獻(xiàn)[14,15]得到更多 Drinfel’dSokolovwilson 的行波解．論文由四章組成，第一章主要介紹了非線性偏微分方程的研究背景、進(jìn)展和研究現(xiàn)狀，提出了本課題的研究意義和研究?jī)?nèi)容．第二章介紹了首次積分方法的思想和具體步驟，以及補(bǔ)充了后人對(duì)此方法的部分完善，第三章是利用首次積分方法求解 drinfel’dSokolovwilson 方程組得到了方程的一些新的精確解，第四章是對(duì)本文所作的工作進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單總結(jié)與展望．紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）342. 首次積分法的思想和基本步驟首次積分方法的基本思想是利用除法定理求出常微分方程的一個(gè)首次積分進(jìn)而求得偏微分方程的精確解 [16], 該方法是馮兆生于 2022 年提出 [7] ．其主要思想是：首先作變換，將原偏微分方程（組）轉(zhuǎn)化為常微分方程（組） ，然后通過積分，并作相應(yīng)的計(jì)算，將方程組轉(zhuǎn)化為二階的常微分方程，再次作變換，將方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)常微分方程組，最后利用多項(xiàng)式整出原理，并借助于數(shù)學(xué)軟件求出方程組的一些精確解． 首次積分與除法定理首次積分：例如一階常微分方程： (21),dyx?將(21)變量分離得到 ,yx (22)兩邊積分得 (23)2,c??因此(21)的通解為 (24) 2,yxc?將原方程的任一解 代入(24)得到恒等式??xy (25) ??2,???則(25)就成為原方程的一個(gè)首次積分.以上結(jié)果很容易推廣到一階常微分方程組： (26)??????????,1121nnnyxfdyfyxdy????紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）5如果(26)的任何一個(gè)解 使得連續(xù)可微的函數(shù)????xyxyn,21? ??1,jnxy??成立，則 稱為方程組(26)的 個(gè)首次積分??,12,j??? 1j jc???除法定理：設(shè) 式復(fù)數(shù)域 上的多項(xiàng)式，并且 在復(fù)數(shù)域zwQP, AzwP,上不可約，如果在 的所有零點(diǎn)處都有 ，那么存在復(fù)數(shù)域上A???0,?zwQ的多項(xiàng)式 使得 ．??zwG,?zG,? 首次積分方法的步驟步驟一：設(shè)非線性偏微分方程 (27)??,.0xtxtPu通過行波變換 可化為下列二階常微分方程：???,uxctR????. (28) ,?Q步驟二：引進(jìn)新的獨(dú)立變量 此時(shí)將常微分方程 (28)化為一階常微,?uYX?分方程組 (29)??,.XYf?????如果在相同條件下能獲得(29)的一個(gè)首次積分，則可直接獲得它的一般解．但通常情況下，這是非常難實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)給定的平面自治系統(tǒng)，既沒有一個(gè)系統(tǒng)的理論，也沒有一種常規(guī)方法來獲得它的一個(gè)首次積分．因此可以利用除法定理找到(29) 的一個(gè)首次積分，它可以將(29)化成一階可積的常微分方程組，然后直接積分就可以得到原方程的精確解．步驟三：設(shè)首次積分為 (210)其????,0,0???mi iYXaYXq??中 是復(fù)數(shù)域上關(guān)于 的待定多項(xiàng)式．由除法定理知在復(fù)ai ,21? X數(shù)域上存在多項(xiàng)式 使得??Yh??? (211