【正文】 混沌系統(tǒng)看似無序，卻有著內(nèi)在的深層次規(guī)律性，如混沌系統(tǒng)普遍存在奇怪吸引子，軌道的大體位置是在吸引子上。這種“貌似無規(guī)”的混沌運動實際是確定性系統(tǒng)中內(nèi)在的隨機行為，它反映了某種內(nèi)在的結構特征。當復擺受一周期性驅(qū)動力作用時，隨著驅(qū)動力幅度的變化，復擺的運動情況也將變得非常復雜。當角速度 =0 時， 有兩類平衡點，一類是( ,0)， , 是d?? k?2n?1,??穩(wěn)定狀態(tài)；另一類是( ,0)， , 是不穩(wěn)定狀態(tài)。 無驅(qū)動力無阻尼的復擺運動無驅(qū)動力、無阻尼相當于 ， 的情況，此時復擺是一個保守系統(tǒng) [11]，0??f復擺處于理想振動狀態(tài)，由式(34)可得：(35)2sin0d???(1) 小角度復擺運動，即簡諧運動若 很小， ，在此情況下我們?nèi)菀椎玫绞?35)的解，它歸結為簡諧?sin??振動情形，為便于從相圖上來分析其運動特征，對式(35)積分，可得：(36)2dE??????????其中，積分常數(shù)為 ， 由初始條件決定，對應于系統(tǒng)的無量綱總能量。本章用 Matlab 來演示研究混沌運動特征及性質(zhì)。源程序如下：[t,y]=ode45(39。在 值為 時，系統(tǒng)經(jīng)過開始的振蕩后收斂于一定值。 倍周期分岔——通向混沌之路倍周期分岔是許多非線性動力學過程中常見的現(xiàn)象，也是進人混沌的一種重要方式 [12]。 用 Matlab 產(chǎn)生標準的混沌信號1963 年，美國氣象學家洛倫茲在《大氣科學雜志》上發(fā)表了著名的論文《確定性的非周期流》 ，文中指出：三階非線性自治系統(tǒng)中可能會出現(xiàn)混沌解 [12]。這里需要說明的是，一般傳統(tǒng)的科學家都認為，任何量的測量和獲得都不可能是完全精確的，都有一定的近似，所以在進行計算的時候一般都采用一定的近似。167。167。 y(4)。 %為光柵各個參數(shù)賦值 lamda=600e9。等量異號點電荷的電勢分布 這個例子將介紹二維網(wǎng)格和三維曲面繪圖的語句，物理情景是 平面上在Oxy, 處有一正電荷， ， 處有一負電荷，根據(jù)公式 計2x?0y2x??0y 04qUr???算兩點電荷電場中電勢的分布， 。 數(shù)值分析Matlab 可以用于解代數(shù)方程、微積分、復合導數(shù)、積分、二重積分、有理函數(shù)、微分方程、泰勒級數(shù)展開、尋優(yōu)等等，可求得解析符號解。% 此為左下角圖subplot(2,2,4)。), gtext(39。Matlab 可同時執(zhí)行以逗號(,)或分號(。在歐美等國家的高校，Matlab 已成為線性代數(shù)、自動控制理論、數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)字信號處理、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等高級課程的基本教學工具，成為攻讀學位的本科、碩士、博士生必須掌握的基本技能。 無驅(qū)動力有阻尼的復擺運動 .......................25167。 繪圖功能 ........................................4167?；煦缋碚撗芯康氖欠蔷€性問題，難以用解析式表達，只能采用數(shù)值解法，而 Matlab 在這方面便可展示其強大的潛能。 用 Matlab 產(chǎn)生標準的混沌信號 ....................16167。Matlab 是集數(shù)值運算、符號運算、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)圖文字統(tǒng)一處理、系統(tǒng)動態(tài)仿真等功能于一體的數(shù)學軟件，具有很高的編程效率，在線性代數(shù)、矩陣分析、數(shù)值計算及優(yōu)化、系統(tǒng)動力學、建模與仿真等領域中得到廣泛應用。Matlab 的界面是一個 web 瀏覽器形式的工作環(huán)境，如圖 11 所示。my first plot39。plot3(x,y,z)5圖 12 用 plot3 命令畫出的三維 空間曲線 在一個窗口產(chǎn)生多個圖形，可在 plot 命令之前加上 subplot程序命令：subplot(m,n,p)，表示將窗口劃分為 mn 個區(qū)域，而下一個命令plot 命令則會繪圖與第 p 個區(qū)域，其中 p 的算法從左向右，一行一行算起，例如：x=0::4*pi。axis squaresubplot(2,2,3)。167。mesh 是三維網(wǎng)格作圖命令，mesh(x,y,z)畫出了每一個格點(x, y)上對應的 z 值（電勢）。 %開辟圖形窗口 plot(x,I)。yxlcfun39。經(jīng)典物理的確定論和近代量子物理的隨機論，雖然都非常成功地解決了許多自然現(xiàn)象，但是這兩種理論之間似乎存在著對立的矛盾，只適宜于不同的領域。如果繼續(xù)迭代下去，其結果仍然是在 和 上循環(huán)，這就是說，其迭代的8X9結果可能是兩個，我們就叫“分岔” ，像這樣有兩個結果的就叫“二周期” 。也正由此導致后來“混沌”理論的誕生。 dy(2)=28*y(1)y(2)y(1)*y(3)。在 3 以后，系統(tǒng)開始進入周期狀態(tài)，開始周期為 2，隨著值的變大，不斷發(fā)生倍周期分岔。因此，混沌系統(tǒng)具有極強的初值敏感性。plot(t,y1(:,1),39。 復擺運動模型與振動方程對如圖 1 所示的圓形復擺，設其質(zhì)量為 ；對轉(zhuǎn)軸 的轉(zhuǎn)動慣量為 ；質(zhì)心mOI到轉(zhuǎn)軸 的距離為 。模擬時取無量綱阻尼系數(shù) =，無量綱驅(qū)動力振幅 =0，結果顯示在圖 34 中。 有驅(qū)動力有阻尼的復擺運動，受迫運動復擺在角位移較小的情況下可作為理想的線性諧振子來處理，但如果考察其在驅(qū)動力作用下任意角位移下的運動，并考慮阻力，則其運動方程中將出現(xiàn)非線性項。圖 310 準周期振動相圖及相圖( , , )1???.5f?當 增至 時，振動情況非常復雜，如圖 411，此即為復擺混沌運動的f奇怪吸引子，此時復擺的相軌跡局部不穩(wěn)定，但全局穩(wěn)定，復擺逐漸脫離周期運動，其運動不再是純粹的振動，而是開始出現(xiàn)了小幅轉(zhuǎn)動，相空間的軌線在特定的區(qū)域無規(guī)則地繞來繞去，開始出現(xiàn)混沌運動的趨勢。利用計算機進行迭代求解，取不同的參數(shù)并觀察各個參數(shù)對復擺振動曲線和相空間軌跡的影響，便可以顯示復擺系統(tǒng)蘊含著的“內(nèi)在隨機性” ，在外來擾動力作用下，逐步表現(xiàn)、發(fā)展、擴大，并在一定條件下一步一步地走向“混沌” 。在此謹向?qū)O老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。復擺運動在角位移較小的情況下通常只是作為諧振子來處理，它屬于線性系統(tǒng)，這是一個理想模型。當 的值增加到 時，如圖f f410 所示，復擺仍進入一種準周期運動狀態(tài)，分岔的數(shù)目已經(jīng)無法判斷。通過以上分析可知，無論初始條件如何，相軌線都會傾斜地流向相應區(qū)域中心的吸引子，這說明阻尼復擺經(jīng)過無限長時間的運動后，最終會停在勢能的最低點，而不會出現(xiàn)混沌運動現(xiàn)象。25圖 33 無驅(qū)動力無阻尼任意擺角復擺相圖167。如果將復擺的這些非線性振動特性利用計算機模擬出來，不僅可以加深我們對復擺運動規(guī)律的認識，給我們提供一個寬闊的研究空間，而且還有助于我們了解物理學的發(fā)展前沿，開闊我們的視野。lorenz39。但是，在混沌動力系統(tǒng)中，如果精確地從同一點出發(fā)，得到的仍是同一條確定的軌道。 %Logistic 方程if (i+1)9800 %舍棄不穩(wěn)定的初始值plot(lamda,x(i+1))。(1)洛倫茲函數(shù)程序：function dy=lorenz(t,y) dy=zeros(3,1)。蝴蝶效應說明了初始條件的重要性，也說明了科學的嚴謹。1()nnX????[0,1]n?如果取 =2， =，則 =， =， =， = 2X34X999996，…… =，也就是其結果最終趨向于點 =0. 50。 混沌理論在現(xiàn)代物理的研究中，混沌理論的建立可能稱得上是最重要的成就之一。*r39。 %計算 β I=(sin(arfa).^2./(arfa.^2)).*... (sin(N.*beita).^2./(sin(beita).^2))。當場點即在電荷處時，會出現(xiàn)分母為零的情況，因此在 r 里加了一個小量 ，這樣既可以完成計算，又不會對結果的正確性造成太大影響。對于二階常微分方程 ，首先需要化成顯式形式(,)0Fxt??，然后令 ， ，則二階常微分方程化為兩個一階常微分(,)xft??(1)y?2)方程組成的方程組，從而使問題得到解決。axis normalsubplot(2,2,2)。x=cos(z)。*b39。除此之外， 之后的版本還添加了開始按鈕(Start)。實際上，當復擺在驅(qū)動力矩及阻尼力矩的作用下，將出現(xiàn)復雜的非線性運動，而且在一定的條件下可通過倍周期分岔逐漸進入到混沌運動狀態(tài)。 “蝴蝶效應” ...................................15167?；煦邕\動是非線性動力學系統(tǒng)所特有的復雜運動狀態(tài)，是一種貌似隨機的不規(guī)則運動，混沌的發(fā)現(xiàn)被譽為繼相對論和量子力學后的第三次物理學革命，混沌的研究一直備受學術界的關注。 M 文件及程序調(diào)試 .................................8167。 本章小結 .........................................................................................33結 論 .........................................................................................................35參考文獻 .....................................................................................................36致 謝 ...........................................................................................................371前 言自然界中存在無數(shù)的無序、非平衡和隨機的復雜系統(tǒng)。在中國，Matlab 也已日益受到重視，短時間內(nèi)就將盛行起來，因為無論哪個學科或工程領域都可以從Matlab 中找到合適的功能。若一個數(shù)學運算式太長，可用三個(...)將其延伸到下一行。) %對曲線名稱進行標注表 12 plot 命令的曲線顏色選項參考表標識符 Y m C r g b w k顏色 黃 品紅 青 紅 綠 藍 白 黑表 13 plot 命令的曲線符號、格式參考表標識符 . o + * ： 線點型 點 圓圈 號 +號 實線 *線 虛線 長劃線多條曲線的繪制：(1)plot(t,[y:y1]) %繪出兩個具有相同自變量的圖形(2)plot(t,y1,39。% 此為右下角圖圖 13 用 subplot 命令在一個窗口繪出四個圖形6改變圖軸長寬比的命令，一般圖軸長寬比的默認值為窗口的窗口比例，但我們可在 axis 命令之后加上不同的字符串來控制 [2]，例如：t=0::2*pi。432790x???p=[3,7,9,0,23]。 %建立數(shù)據(jù)網(wǎng)格 z=1./sqrt((x2).^2+y.^2+)1./sqrt((x+2).^2+y.^2+)。y=1::1。 %建立微分方程組(2)解微分方程的主程序 ： p=1。由于 Matlab 是集數(shù)值運算、符號運算、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)圖文字統(tǒng)一處理、系統(tǒng)動態(tài)仿真等功能于一體的數(shù)學軟件，所以為了加深對 Matlab 的基本功能的理解，在本章第三節(jié)我們列舉了幾個簡單的應用。取