【正文】 混沌系統(tǒng)看似無(wú)序，卻有著內(nèi)在的深層次規(guī)律性，如混沌系統(tǒng)普遍存在奇怪吸引子，軌道的大體位置是在吸引子上。這種“貌似無(wú)規(guī)”的混沌運(yùn)動(dòng)實(shí)際是確定性系統(tǒng)中內(nèi)在的隨機(jī)行為，它反映了某種內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征。當(dāng)復(fù)擺受一周期性驅(qū)動(dòng)力作用時(shí)，隨著驅(qū)動(dòng)力幅度的變化，復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)情況也將變得非常復(fù)雜。當(dāng)角速度 =0 時(shí)， 有兩類(lèi)平衡點(diǎn)，一類(lèi)是( ,0)， , 是d?? k?2n?1,??穩(wěn)定狀態(tài)；另一類(lèi)是( ,0)， , 是不穩(wěn)定狀態(tài)。 無(wú)驅(qū)動(dòng)力無(wú)阻尼的復(fù)擺運(yùn)動(dòng)無(wú)驅(qū)動(dòng)力、無(wú)阻尼相當(dāng)于 ， 的情況，此時(shí)復(fù)擺是一個(gè)保守系統(tǒng) [11]，0??f復(fù)擺處于理想振動(dòng)狀態(tài)，由式(34)可得：(35)2sin0d???(1) 小角度復(fù)擺運(yùn)動(dòng)，即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)若 很小， ，在此情況下我們?nèi)菀椎玫绞?35)的解，它歸結(jié)為簡(jiǎn)諧?sin??振動(dòng)情形，為便于從相圖上來(lái)分析其運(yùn)動(dòng)特征，對(duì)式(35)積分，可得：(36)2dE??????????其中，積分常數(shù)為 ， 由初始條件決定，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的無(wú)量綱總能量。本章用 Matlab 來(lái)演示研究混沌運(yùn)動(dòng)特征及性質(zhì)。源程序如下：[t,y]=ode45(39。在 值為 時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)開(kāi)始的振蕩后收斂于一定值。 倍周期分岔——通向混沌之路倍周期分岔是許多非線性動(dòng)力學(xué)過(guò)程中常見(jiàn)的現(xiàn)象，也是進(jìn)人混沌的一種重要方式 [12]。 用 Matlab 產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的混沌信號(hào)1963 年，美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲在《大氣科學(xué)雜志》上發(fā)表了著名的論文《確定性的非周期流》 ，文中指出：三階非線性自治系統(tǒng)中可能會(huì)出現(xiàn)混沌解 [12]。這里需要說(shuō)明的是，一般傳統(tǒng)的科學(xué)家都認(rèn)為，任何量的測(cè)量和獲得都不可能是完全精確的，都有一定的近似，所以在進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候一般都采用一定的近似。167。167。 y(4)。 %為光柵各個(gè)參數(shù)賦值 lamda=600e9。等量異號(hào)點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布 這個(gè)例子將介紹二維網(wǎng)格和三維曲面繪圖的語(yǔ)句，物理情景是 平面上在Oxy, 處有一正電荷， ， 處有一負(fù)電荷，根據(jù)公式 計(jì)2x?0y2x??0y 04qUr???算兩點(diǎn)電荷電場(chǎng)中電勢(shì)的分布， 。 數(shù)值分析Matlab 可以用于解代數(shù)方程、微積分、復(fù)合導(dǎo)數(shù)、積分、二重積分、有理函數(shù)、微分方程、泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)、尋優(yōu)等等，可求得解析符號(hào)解。% 此為左下角圖subplot(2,2,4)。), gtext(39。Matlab 可同時(shí)執(zhí)行以逗號(hào)(,)或分號(hào)(。在歐美等國(guó)家的高校，Matlab 已成為線性代數(shù)、自動(dòng)控制理論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)字信號(hào)處理、時(shí)間序列分析、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等高級(jí)課程的基本教學(xué)工具，成為攻讀學(xué)位的本科、碩士、博士生必須掌握的基本技能。 無(wú)驅(qū)動(dòng)力有阻尼的復(fù)擺運(yùn)動(dòng) .......................25167。 繪圖功能 ........................................4167?；煦缋碚撗芯康氖欠蔷€性問(wèn)題，難以用解析式表達(dá)，只能采用數(shù)值解法，而 Matlab 在這方面便可展示其強(qiáng)大的潛能。 用 Matlab 產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的混沌信號(hào) ....................16167。Matlab 是集數(shù)值運(yùn)算、符號(hào)運(yùn)算、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)圖文字統(tǒng)一處理、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真等功能于一體的數(shù)學(xué)軟件，具有很高的編程效率，在線性代數(shù)、矩陣分析、數(shù)值計(jì)算及優(yōu)化、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、建模與仿真等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。Matlab 的界面是一個(gè) web 瀏覽器形式的工作環(huán)境，如圖 11 所示。my first plot39。plot3(x,y,z)5圖 12 用 plot3 命令畫(huà)出的三維 空間曲線 在一個(gè)窗口產(chǎn)生多個(gè)圖形，可在 plot 命令之前加上 subplot程序命令：subplot(m,n,p)，表示將窗口劃分為 mn 個(gè)區(qū)域，而下一個(gè)命令plot 命令則會(huì)繪圖與第 p 個(gè)區(qū)域，其中 p 的算法從左向右，一行一行算起，例如：x=0::4*pi。axis squaresubplot(2,2,3)。167。mesh 是三維網(wǎng)格作圖命令，mesh(x,y,z)畫(huà)出了每一個(gè)格點(diǎn)(x, y)上對(duì)應(yīng)的 z 值（電勢(shì)）。 %開(kāi)辟圖形窗口 plot(x,I)。yxlcfun39。經(jīng)典物理的確定論和近代量子物理的隨機(jī)論，雖然都非常成功地解決了許多自然現(xiàn)象，但是這兩種理論之間似乎存在著對(duì)立的矛盾，只適宜于不同的領(lǐng)域。如果繼續(xù)迭代下去，其結(jié)果仍然是在 和 上循環(huán)，這就是說(shuō)，其迭代的8X9結(jié)果可能是兩個(gè)，我們就叫“分岔” ，像這樣有兩個(gè)結(jié)果的就叫“二周期” 。也正由此導(dǎo)致后來(lái)“混沌”理論的誕生。 dy(2)=28*y(1)y(2)y(1)*y(3)。在 3 以后，系統(tǒng)開(kāi)始進(jìn)入周期狀態(tài)，開(kāi)始周期為 2，隨著值的變大，不斷發(fā)生倍周期分岔。因此，混沌系統(tǒng)具有極強(qiáng)的初值敏感性。plot(t,y1(:,1),39。 復(fù)擺運(yùn)動(dòng)模型與振動(dòng)方程對(duì)如圖 1 所示的圓形復(fù)擺，設(shè)其質(zhì)量為 ；對(duì)轉(zhuǎn)軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ；質(zhì)心mOI到轉(zhuǎn)軸 的距離為 。模擬時(shí)取無(wú)量綱阻尼系數(shù) =，無(wú)量綱驅(qū)動(dòng)力振幅 =0，結(jié)果顯示在圖 34 中。 有驅(qū)動(dòng)力有阻尼的復(fù)擺運(yùn)動(dòng)，受迫運(yùn)動(dòng)復(fù)擺在角位移較小的情況下可作為理想的線性諧振子來(lái)處理，但如果考察其在驅(qū)動(dòng)力作用下任意角位移下的運(yùn)動(dòng)，并考慮阻力，則其運(yùn)動(dòng)方程中將出現(xiàn)非線性項(xiàng)。圖 310 準(zhǔn)周期振動(dòng)相圖及相圖( , , )1???.5f?當(dāng) 增至 時(shí)，振動(dòng)情況非常復(fù)雜，如圖 411，此即為復(fù)擺混沌運(yùn)動(dòng)的f奇怪吸引子，此時(shí)復(fù)擺的相軌跡局部不穩(wěn)定，但全局穩(wěn)定，復(fù)擺逐漸脫離周期運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)不再是純粹的振動(dòng)，而是開(kāi)始出現(xiàn)了小幅轉(zhuǎn)動(dòng)，相空間的軌線在特定的區(qū)域無(wú)規(guī)則地繞來(lái)繞去，開(kāi)始出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)。利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代求解，取不同的參數(shù)并觀察各個(gè)參數(shù)對(duì)復(fù)擺振動(dòng)曲線和相空間軌跡的影響，便可以顯示復(fù)擺系統(tǒng)蘊(yùn)含著的“內(nèi)在隨機(jī)性” ，在外來(lái)擾動(dòng)力作用下，逐步表現(xiàn)、發(fā)展、擴(kuò)大，并在一定條件下一步一步地走向“混沌” 。在此謹(jǐn)向?qū)O老師致以誠(chéng)摯的謝意和崇高的敬意。復(fù)擺運(yùn)動(dòng)在角位移較小的情況下通常只是作為諧振子來(lái)處理，它屬于線性系統(tǒng)，這是一個(gè)理想模型。當(dāng) 的值增加到 時(shí)，如圖f f410 所示，復(fù)擺仍進(jìn)入一種準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，分岔的數(shù)目已經(jīng)無(wú)法判斷。通過(guò)以上分析可知，無(wú)論初始條件如何，相軌線都會(huì)傾斜地流向相應(yīng)區(qū)域中心的吸引子，這說(shuō)明阻尼復(fù)擺經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)后，最終會(huì)停在勢(shì)能的最低點(diǎn)，而不會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。25圖 33 無(wú)驅(qū)動(dòng)力無(wú)阻尼任意擺角復(fù)擺相圖167。如果將復(fù)擺的這些非線性振動(dòng)特性利用計(jì)算機(jī)模擬出來(lái)，不僅可以加深我們對(duì)復(fù)擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，給我們提供一個(gè)寬闊的研究空間，而且還有助于我們了解物理學(xué)的發(fā)展前沿，開(kāi)闊我們的視野。lorenz39。但是，在混沌動(dòng)力系統(tǒng)中，如果精確地從同一點(diǎn)出發(fā)，得到的仍是同一條確定的軌道。 %Logistic 方程if (i+1)9800 %舍棄不穩(wěn)定的初始值plot(lamda,x(i+1))。(1)洛倫茲函數(shù)程序：function dy=lorenz(t,y) dy=zeros(3,1)。蝴蝶效應(yīng)說(shuō)明了初始條件的重要性，也說(shuō)明了科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。1()nnX????[0,1]n?如果取 =2， =，則 =， =， =， = 2X34X999996，…… =，也就是其結(jié)果最終趨向于點(diǎn) =0. 50。 混沌理論在現(xiàn)代物理的研究中，混沌理論的建立可能稱(chēng)得上是最重要的成就之一。*r39。 %計(jì)算 β I=(sin(arfa).^2./(arfa.^2)).*... (sin(N.*beita).^2./(sin(beita).^2))。當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)即在電荷處時(shí)，會(huì)出現(xiàn)分母為零的情況，因此在 r 里加了一個(gè)小量 ，這樣既可以完成計(jì)算，又不會(huì)對(duì)結(jié)果的正確性造成太大影響。對(duì)于二階常微分方程 ，首先需要化成顯式形式(,)0Fxt??，然后令 ， ，則二階常微分方程化為兩個(gè)一階常微分(,)xft??(1)y?2)方程組成的方程組，從而使問(wèn)題得到解決。axis normalsubplot(2,2,2)。x=cos(z)。*b39。除此之外， 之后的版本還添加了開(kāi)始按鈕(Start)。實(shí)際上，當(dāng)復(fù)擺在驅(qū)動(dòng)力矩及阻尼力矩的作用下，將出現(xiàn)復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)，而且在一定的條件下可通過(guò)倍周期分岔逐漸進(jìn)入到混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 “蝴蝶效應(yīng)” ...................................15167?；煦邕\(yùn)動(dòng)是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所特有的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是一種貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，混沌的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為繼相對(duì)論和量子力學(xué)后的第三次物理學(xué)革命，混沌的研究一直備受學(xué)術(shù)界的關(guān)注。 M 文件及程序調(diào)試 .................................8167。 本章小結(jié) .........................................................................................33結(jié) 論 .........................................................................................................35參考文獻(xiàn) .....................................................................................................36致 謝 ...........................................................................................................371前 言自然界中存在無(wú)數(shù)的無(wú)序、非平衡和隨機(jī)的復(fù)雜系統(tǒng)。在中國(guó)，Matlab 也已日益受到重視，短時(shí)間內(nèi)就將盛行起來(lái)，因?yàn)闊o(wú)論哪個(gè)學(xué)科或工程領(lǐng)域都可以從Matlab 中找到合適的功能。若一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算式太長(zhǎng)，可用三個(gè)(...)將其延伸到下一行。) %對(duì)曲線名稱(chēng)進(jìn)行標(biāo)注表 12 plot 命令的曲線顏色選項(xiàng)參考表標(biāo)識(shí)符 Y m C r g b w k顏色 黃 品紅 青 紅 綠 藍(lán) 白 黑表 13 plot 命令的曲線符號(hào)、格式參考表標(biāo)識(shí)符 . o + * ： 線點(diǎn)型 點(diǎn) 圓圈 號(hào) +號(hào) 實(shí)線 *線 虛線 長(zhǎng)劃線多條曲線的繪制：(1)plot(t,[y:y1]) %繪出兩個(gè)具有相同自變量的圖形(2)plot(t,y1,39。% 此為右下角圖圖 13 用 subplot 命令在一個(gè)窗口繪出四個(gè)圖形6改變圖軸長(zhǎng)寬比的命令，一般圖軸長(zhǎng)寬比的默認(rèn)值為窗口的窗口比例，但我們可在 axis 命令之后加上不同的字符串來(lái)控制 [2]，例如：t=0::2*pi。432790x???p=[3,7,9,0,23]。 %建立數(shù)據(jù)網(wǎng)格 z=1./sqrt((x2).^2+y.^2+)1./sqrt((x+2).^2+y.^2+)。y=1::1。 %建立微分方程組(2)解微分方程的主程序 ： p=1。由于 Matlab 是集數(shù)值運(yùn)算、符號(hào)運(yùn)算、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)圖文字統(tǒng)一處理、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真等功能于一體的數(shù)學(xué)軟件，所以為了加深對(duì) Matlab 的基本功能的理解，在本章第三節(jié)我們列舉了幾個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。取