【正文】 點 的 坐 標 分 別 為1 1 2 2( , ),( , )x y x y ，則 12,xx為方程 2 4 4 0x kx? ? ? 的兩個解，因此 1 2 1 24 , 4x x k x x? ? ?，所以2 121PQ k x x? ? ? ?，點 (0,1)B 到 直線 l 的 距離22 1d k? ? ，由 三角形 BPQ 的面積為 4得 222124 1 1 42 1kk k? ? ? ? ? ??，解得 2k?? ，滿足 2 1k? ． 因此 直線 l 的 方程 為 2 1 0xy? ? ? 或 2 1 0xy? ? ? ． （ 2）把 直線 l 的方程 代入 2 2x py? 得 2 2 2 0x pkx p? ? ?，設 ,PQ兩點 的坐標分別為1 1 2 2( , ),( , )x y x y ，則 12,xx 為方程 2 2 2 0x pk x p? ? ?的 兩 個 解 ， 因 此 122xx p? ，221 1 1 1 2 1 21 1 1122 2 2BP y x p x x x x xk x p x p x p? ? ? ?? ? ? ?，同理 212BQ xxk p?? ，因此 0BP BQkk??，因為 QB 的xyOBMPNQA 斜率 與 PB 的斜率的乘積為 3? ，所以 QB 的斜率為 3? ，從而 60BMN BN M? ? ? ?，即MNB? 為正三角形，因為 BO 為正三角形 MNB 的高，且 1BO? ，所以 233MN? ． 20. （ 本題滿分 15分 ） 設函數(shù) 2( ) 2 3 1f x ax bx a? ? ? ?，（ 1）若 01a?? ， 12( ) ( )f x f x? 12,xx滿足 1 [ , ]x bb a??， 2 [ 2 , 4 ]x b a b a? ? ? ，求實數(shù) b 的最大值；（ 2）當 [ 4,4]x?? 時，( ) 0fx? 恒成立，求 5ab? 的最小值． 解：（ 1） 由 12( ) ( )f x f x? 及 12xx? 得到122bxx a? ??，即1 2 max() 2bxx a? ? ?，因為1 [ , ]x b b a??， 2 [ 2 , 4 ]x b a b a? ? ? ，所以， 25 2bba a? ?? ，解得 21041ab a?? ? ，令 41at?? ，則 (1,5]t? ， 2 1 1 1( 2)4 1 1 6 5a tat? ? ? ?? ，從而 210 241aa? ??? ，即 2min10( ) 241aa? ???，所以， 2b?? ，當 1a? 時， b 的最大值為 2? ． （ 2）方法 一 ：當 0a? 時，（ 1）若 444ba? ?? ?? ， ( ) 04bf a??，即 16 16a b a? ? ? 且 2224 8 0a a b? ? ?，整理得 221224( )63ab? ? ?，設 12 4 ( ) c o s , s in6a r b r??? ? ?，其中60 3r?? ， [0,2 ]??? ． 所 以 ， 5 7 6 15 6 3 326ab? ? ? ? ? ?， 等 號 成 立 的 條 件 是6 2 6 5, s in , c o s3 7 7r ??? ? ? ? ?，即 14,21 7ab? ?? ． （ 2）若 44ba? ?? ，即 16ba? ，則 15 21 0 3a b a? ? ? ? ?； （ 3） 44ba??，即 16ba?? ，又由題意知 29 144ba?? ? ，所以， 29 116 44aa? ? ? ? ，解得 135a? ，從而 9 1 9 1 1 15 4 4 4 3 5 4 3a b a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 當 0a? 時，也容易知道 9 1 1 15 4 4 4 3a b a? ? ? ? ? ? ? ?． 綜上，當且僅當 14,21 7ab? ?? 時，min 1(5 ) 3ab? ??． 方法 二 ：為了出現(xiàn) 5ab? 的形式，可以把原函數(shù)換一種形式 2( ) ( 2 3 ) 1f x x a xb? ? ? ?，只要令 ,ab對應系數(shù)成比例就會出現(xiàn)目標形式． 令 22351xx? ? ，解得1213, 2xx? ??，又 [ 4,4]x?? 時， ( ) 0fx? ，特別地有 (3) 0f ? ，所以 1 1 15 ( 3 )3 3 3a b f? ? ? ? ?，當且僅當 (3) 0f ? 時成立．另一方面， [ 4,4]x?? 時，( ) 0 (3)f x f?? ，所以， 3x? 為二次函數(shù)的對稱軸，即有 15 3ab? ?? ，且 34ba??，解得 14,21 7ab? ?? ．從而，當且僅當 14,21 7ab? ?? 時， min 1(5 ) 3ab? ?? ． 在前面的解法中，注意到 11( ) (5 ) 122f a b? ? ? ? ?，所以 15 2 ( ) 2 22a b f? ? ? ? ? ?，等號當且僅當 1( ) 02f ??，即 142ba? ??時成立，解得 24,77ab??時， 5ab? 的最大值為 2.