江蘇省南通中學(xué)20xx屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題word版含答案(更新版)
【正文】 （ ii）充分性：設(shè) ， ， 則 這三項(xiàng)為 ，即 ，調(diào)整順序后易知 成等差數(shù)列，所以充分性也成立． 綜合（ i）（ ii），充要性得證． （ 3） 因?yàn)? ， 即 ， 當(dāng) 時(shí)， ， 則 式兩邊同乘以 ，得 ， ，得 ，即 ， 又當(dāng) 時(shí)， ，即 ，適合 ， ． ， ， 時(shí)， ，即 ； 時(shí)， ，此時(shí) 單調(diào)遞減， 又 ， ， ， ， (法二： 兩邊同除以 2n+1) II 卷 （ 本大題共 4小題， 每題 10分，共計(jì) 40分．請?jiān)?答 ． 卷 ． 指定區(qū)域內(nèi)作答 ． ． ． ． ． ． ． ，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． ） 21(B).已知矩陣 ，若 ，求矩陣 的 特征值． 【答案】 因?yàn)? ， 所以 解得 ， ． 所以矩陣 的特征多項(xiàng)式為 令 ， 解得矩陣 的特征值為 ． 21(D). 在平面直角坐標(biāo)系 中，已知直線 （為參數(shù)）與曲線 （為參數(shù)）相交于 ， 兩點(diǎn)，求線段 的長． 【答案】 方法一： 將曲線 （為參數(shù)）化為普通方程為 ． 將直線 （為參數(shù)）代入 得， ， 解得 ， ． 則 ． 所以線段 的長為 ． 方法二： 將曲線 （為參數(shù)）化為普通方程為 ． 將直線 （為參數(shù)）化為普通方程為 ， 由 得， 或 所以 的長為 ． 22. 某樂隊(duì)參加一戶外音樂節(jié)，準(zhǔn)備從 首原創(chuàng)新曲和 首經(jīng)典歌曲中隨機(jī)選擇 首進(jìn)行演唱． （ 1）求該樂隊(duì)至少演唱 首原創(chuàng)新曲的概率； （ 2）假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂隊(duì)的互動指數(shù)為 （ 為常數(shù)），演唱一首經(jīng)典歌曲觀眾與樂隊(duì)的互動指數(shù)為 ．求觀眾與樂隊(duì)的互動指數(shù)之和 的概率分布及數(shù)學(xué)期望． 【答案】 （ 1） 設(shè) “至少演唱 首原創(chuàng)新曲 ”為事件 ， 則事件 的對立事件 為： “沒有 首原創(chuàng)新曲被演唱 ”． 所以 ． 答：該 樂隊(duì)至少演唱 首原創(chuàng)新曲的概率為 ． （ 2） 設(shè)隨機(jī)變量 表示被演唱的原創(chuàng)新曲的首數(shù)，則 的所有可能值為 ， ，． 依題意， ，故 的所有可能值依次為 ， ， ， ． 則 ， ， ， ． 從而 的概率分布為： 所以 的數(shù)學(xué)期望 ． 23. 已知函數(shù) ，設(shè)數(shù)列 滿足： ， ． （ 1）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ， 都有 ； （ 2）求證： ． 【答案】 （ 1） ① 當(dāng) 時(shí)， ，有 . 所以 時(shí)，不等式成立． ② 假設(shè)當(dāng) 時(shí)，不等式成立， 即 . 則當(dāng) 時(shí)， ， 于是 . 因?yàn)? ， 所以 ，即 ，可得 . 所以當(dāng) 時(shí)，不等式也成立． 由 ①② ，可知，對任意的正整數(shù) ，都有 . （ 2） 由（ 1）可得 . 兩邊同時(shí)取 為底的對數(shù)，可得 ， 化簡為 . 所以數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列 . 所以 ， 化簡求得： ， 所以 . 因?yàn)? 時(shí)， ， 時(shí)， . 所以 時(shí)， ， 所以 . ， 所以 .
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