【正文】 答案：解 : (1)如圖，連接 OE ， 90 , 90 ,O EC AD C O E? ? ? ? ? ?∥ ， 所以 AE 平分 DAC? . (2)AD = cos 30 3AE ?? . 4 33O A ES S S ??? ? ? ?陰 影 扇 OAE . （ 2021青島一模） 如圖， AB是 ⊙ O的直徑， ∠ ABC=70176。一模 )如圖， AD是 ⊙ O的直徑，弦 BC⊥ AD ，連接 AB、 AC、 OC，若 ∠ COD=60176。 ． g A B C D Q P M N O 【點評】 本題考查了圓周角定理．解答該題時，需熟練運用圓周角定理及其推論． 1 (2021 ，則 ∠ABD= 65176。四川峨眉 ． 答案： 40 （ 2021陜西師大附中模擬 )如圖，△ ABC內(nèi)接于⊙ O，∠ BAC=30176。=60176。一模） 下列圖形中， ∠ 1 一定大于 ∠ 2 的是（ ） A． B． C． D． 【考點】 三角形的外角性質(zhì)；對頂角、鄰補角；平行線的性質(zhì)；圓周角定理． 【分析】 根據(jù)對頂角、內(nèi)錯角、外角、圓周角的性質(zhì) ，對選項依次判斷即可得出答案． 【解答】 解： A、根據(jù)對頂角相等， ∠ 1=∠ 2 ，故本選項錯誤； B、根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯角相等， ∠ 1=∠ 2 ，故本選項錯誤； C、根據(jù)外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和， ∠ 1 ＞ ∠ 2 ，故本選項正確； D、根據(jù)圓周角性質(zhì)， ∠ 1=∠ 2 ，故本選項錯誤． 故選 C． O D B A C 【點評】 本題主要考查了對頂角、內(nèi)錯角、外角、圓周角的性質(zhì)，難度適中． 1 （ 2021 【考點】 圓周角定理；平行線的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù) ∠ B=25176。湖南 湘潭 ∠ ACB= ∠ AOB（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）， ∴∠ AOB=90176。2=110176。 【考點】 圓周角定理． 【分析】 在同圓和等圓中，同 弧所對的圓心 角是圓 周角的 2倍，所以 ∠ AOC=2∠ D=70176。九年級下學(xué)期期初考 試） 如圖， ⊙ O 的直徑 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E， ∠ A=30176。模擬 )如圖， ⊙ O 的半徑為 2，弦 AB=23 ，點 C 在弦 AB 上 , 14AC AB? ，則 OC的長為 （ ） A . 2 B. 3 C. 233 D. 72 （ 2021 ， ∴ ∠ ABC=∠ D=30176。上海普陀區(qū)=6 =3 cm， ∴ BC=2BE=6 cm，故 ② 正確； ∵ ∠ AOB=60176。 ． （ B） 80176。 一模 ） 如圖， A、 D是 ⊙ O上的兩個點， BC是直徑，若 ∠ D=35176。 ，所以 ∠ OAC=55176。 ． 故選： B． 【點評】 本題考查同弧所 對的圓周角和 圓心角的關(guān)系．規(guī)律總結(jié)：解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計算時，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉(zhuǎn)化成同弧所對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關(guān)系求解，特別地，當(dāng)有一直徑這一條件時，往往要用到直徑所對的圓周角是直角 這一條件． (2021一模）如圖，⊙ O的直徑 AB垂直于弦 CD，垂足為 E，∠ A=176。一模） 如圖， AB是 ⊙ O的直徑，點 C 在圓周上，連結(jié) BC、OC，過點 A作 AD∥ OC 交 ⊙ O于點 D，若 ∠ B =25176。 ， ∴ ∠ C=25176。 的直角三角板 ABC 的一條直角邊 BC 放在直線 EF 上，斜邊 AB與 ⊙ O 交于點 P，點 B與點 O重合，且 AC大于 OE，將三角板 ABC沿 OE方向平移，使得點 B與點 E重合為止．設(shè) ∠ POF=x ，則 x的取值范圍是（ ） A． 30≤x≤60 B． 30≤x≤90 C． 30≤x≤120 D． 60≤x≤120 【考點】 圓周角定理；平移的性質(zhì)． 【專題】 壓軸題；動點型． 【分析】 分析可得：開始移動時， x=30176。一模）如圖， AB 是⊙ O 的直徑，弦 BC=2cm， ∠ABC =60176。 ； 在 Rt△ADH 中，可求得 DH的長；也就求出了 CH的長，在 Rt△ COH 中，根據(jù) ∠ COH 的正弦值和 CH的長，即可求出 OC的半徑，進而可求出 ⊙ O的周長． 【解答】 解： ∵ 半徑 OB⊥ CD ， ∴ ， CH=DH；（垂徑定理） ∵ BH ： CO=1： 2， ∴ BH=OH= OC； 在 Rt△ OCH 中， OH= OC， ∴ ∠ COH=60176。一模 )半圓形紙片的半徑為 1cm，用如圖所示的方法將紙片對折，使對折后半圓弧的中點 M與圓心 O重合，則折痕 CD 的長為 cm． 【考點】 垂徑定理；勾股定理． 【分析】 作 MO交 CD于 E，則 MO⊥ CD ．連接 CO．根據(jù)勾股定理和垂徑定理求解． 【解答】 解：作 MO交 CD 于 E，則 MO⊥ CD ，連接 CO， 對折后半圓弧的中點 M與圓心 O重合， 則 ME=OE=OC， 在直角三角形 COE中， CE= = ， 折痕 CD的長為 2 = （ cm）． 【點評】 作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)對稱 性，利用勾股定理解答 (2021江蘇省南京市鐘愛中學(xué)一模） 如圖， AB 是 ⊙O 的直徑，點 C、 D都在 ⊙O 上， 若 ∠C=20176。 ； ∵ AB 是 ⊙ O的直徑， ∴ ∠ ADB=90176。 ． 【考點】 圓周角定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】 計算題． 【分析】 先判斷 △ OAB 為等邊三角形，則 ∠AOB=60176。 ， ∴ ∠ DAC=30176。 ，然后由圓周角定理，可求得 ∠ D 的度數(shù)． 【解答】 解： ∵ AB 是 ⊙O 的直徑， ∴ ∠ ACB=90176。 ∴ 直線 BF是 ⊙ O的切線； （ 2）解：連接 DO， EO， ∵ 點 D，點 E分別是弧 AB的三等分點， ∴ ∠ AOD=60176。一模 )如圖，已知 AD是 ⊙ O的直徑， AB、 BC是 ⊙ O的弦， AD⊥ BC ，垂足是點 E， BC=8， DE=2，求 ⊙O 的半徑長和 sin∠ BAD 的值． 【考點】 垂徑定理；解直角三角形． 【分析】 設(shè) ⊙O 的半徑為 r，根據(jù)垂徑定理求出 BE=CE=BC=4， ∠AEB=90176。 ， P 是弧 AB 的中點，所以三角形 APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得． （ 2）根據(jù)垂徑定理得出 OP 垂直平分 BC，得出 OP∥ AC ，從而得出 △ ACB∽ △ 0NP ，根據(jù)對應(yīng)邊成比例求得 ON、 AN的長，利用勾股定理求得 NP的長，進而求得 PA． 【解答】 解：（ 1）如 圖（ 1）所示，連接 PB， ∵ AB 是 ⊙ O的直徑且 P是 的中點， ∴ ∠ PAB=∠ PBA=45176。∠ AOE=60176。一模） （ 本題滿分 10分）定義：數(shù)學(xué)活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形． 理解：（ 1）如圖 1，已知 A、 B、 C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點， AB、 BC為邊的兩個對等四邊 形 ABCD； （ 2）如圖 2，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中， AB是 ⊙ O的直徑， AC=BD．求證：四邊形 ABCD是對等四邊形； （ 3）如圖 3，在 Rt△ PBC中， ∠ PCB=90176