【正文】 歸原作者所有 ) 30 應(yīng)試策略 :合理安排 ,先易后難 ,先簡(jiǎn)后繁 .一般來(lái)說(shuō) ,選擇題最容易 ,填空題次之 。 ? 除行列式的計(jì)算外 (很少可能 ),所有計(jì)算題應(yīng)該用較簡(jiǎn)單的方法作出 。 39。 (2)設(shè)向量 x 在基 1 2 3,? ? ? 下的坐標(biāo)為123??????????,求 x 在基 1 2 3,e e e 下的坐標(biāo) . 解 (1)首先，基 1 2 3,e e e 到基 1 2 3,? ? ? 的過(guò)渡矩陣為1 1 10 1 10 0 1A?????????,所以 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32 0 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 1 01 0 1B e e e AB e e e? ? ? ? ? ?????? ? ?????,因此 1 2 32 0 11 , 1 , 0 .1 0 1? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? (2) 由于 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 0 1 1 5( , , ) 2 ( , , ) 1 1 0 2 ( , , ) 3 ,3 1 0 1 3 4x e e e e e e? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 故 x 在 1 2 3,e e e 下的坐標(biāo)為534??????????. 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 24 例 41 設(shè) n階實(shí)對(duì)稱矩陣 A滿足條件 2 6 8 0A A E? ? ?且 A+tE是正交矩陣 ,則 t=[ ]. 解 由于 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ( 2 6 ) ( 8 ) ,TTA tE A tE A tE A tE A tE A tEA tA t E t A t E E? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?所以 t=3. 例 42(20xx)已知實(shí)二次型 2221 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 4 4f x x x a x a x a x x x x x x x? ? ? ? ? ?經(jīng)正交變換 x=Py 可化為標(biāo)準(zhǔn)形 f=6y12,則 a=. 例 43 設(shè)1 1 1 1 4 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0,1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0AB? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,則 A 與 B[ ]. 例 44 已知二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 6 8 4 4 ( 0 )f x x x a x a x x x x x x x x a? ? ? ? ? ? ?通過(guò)正交變換可以化為標(biāo)準(zhǔn)形 2 2 21 2 3772y y y?? ,求參數(shù) a 以及所用的正交變換 . 解 二次型的矩陣為44422 2 6aAa???????????，而 A的特征值為 7， 7，－ 2，所以 a+a+6=7+72=12,即 a=3. 對(duì)應(yīng)于特征值 7 的 特征向量滿足方程 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 25 1237 3 4 2 04 7 3 2 02 2 7 6 0xxx??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?， 即 1 2 32 2 0x x x? ? ? ，故12111 , 002???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?為兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 ,單位化 ,正交化可得 12112 3 211,2 3 20432??????????????????? ? ??????????????? ???? ??。 (3)2A+3E 可逆 ,并求其逆 . 證明 因?yàn)?(A+4E)(AE)=0,故 (AE)的每一列都是齊次方程組 (A+4E)x=0 的解，從而是矩陣 A 的屬于特征值 4 的特征向量；因此， r(AE)?nr(A+4E)，即 r(AE)＋ r(A+4E)?n。注意 r(Q1B)=r(B),故共有p 行的矩陣 Q1B 的前 r 行的秩至少為 r(B)(pr)=r(A)+r(B)p,即 C 的秩至少為r(A)+r(B)p,但 r(C)=r(AB),ok. 例 27 設(shè) A 為 n 階矩陣，證明 r(An)=r(An+1). 證明 (此題較難 )顯然有 r(An)?r(An+1).若 A＝ 0 或 A可逆 ,則 An與 An+1 也等于0 或可逆 ,從而秩相等 . 現(xiàn)設(shè) A?0且 A不可逆 ,則 A, A2,… ,An,An+1 這 n+1 個(gè)矩陣的秩只能是 0,1,2,… ,n1 這 n 個(gè)數(shù) 。 rs 時(shí) ,向量組 I 必線性相關(guān) . 解 由于只知道 I 能由 II 線性表示 ,故只能討論 I 的線性相關(guān)性 , 對(duì) II 則一無(wú) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 14 所知 (它可能線性相關(guān) ,也可 能線性無(wú)關(guān) ).所以 A,B 錯(cuò) .只與 C,D 就較為明顯了 :向量越多則越容易線性相關(guān) .當(dāng) rs 時(shí) ,I 中的向量個(gè)數(shù)多于 II,只能線性相關(guān) . 例 22(20xx) 設(shè) A， B為滿足 AB=0 的任意兩個(gè)非 0矩陣，則必有 的列向量組線性相關(guān) ,B的行向量組線性相關(guān) 的列向量組線性相關(guān) ,B的列向量組線性相關(guān) 的行向量組線性相關(guān) ,B的行向量組線性相關(guān) 的行向量組線性相關(guān) ,B的列向量組線性相關(guān) 分析 (20xx12) 這實(shí)際上是考察我們對(duì)矩陣乘法的理解 :” 左行右列 ” 原則說(shuō) AB 的列是 A的列的線性組合 ,而其 行是 B 的行的線性組合 ,現(xiàn)在 AB=0,故 A的列的線性組合為 0,B的行的線性組合為 0,從而 A的列線性相關(guān) ,B的行線性相關(guān) ,選 A. [這是概念性很強(qiáng)的線性代數(shù)題 ,50％的考生早在上線性代數(shù)課的時(shí)候就暈過(guò)無(wú)數(shù)次 ,現(xiàn)在又要再暈一次了 (我們將在線性代數(shù)的復(fù)習(xí)中幫助大家蘇醒過(guò)來(lái) ).但現(xiàn)在我們是在做選擇題 !選最簡(jiǎn)單的矩陣 (當(dāng)然 1 1的不行 為什么 ???故 1 2的最簡(jiǎn)單 )如下 : ? ? 01 0 , 1AB ???? ????.如此 ,A 的行線性無(wú)關(guān) ,C,D 錯(cuò) 。 12, , , m? ? ? 可由 向量組 12, , , m? ? ? 線性表示 。c c k k? ? ? ? ?(左邊為 (II)的解 ,右邊為 (I)的解 ).故需求不全為 0 的系數(shù) ,即下面的線性方程組的非 0 解 : 1 2 3 4( 0 , 1 , 1 , 0 ) 39。萬(wàn)不得已時(shí)，應(yīng)先討論可能使分母為 0 的情況。,2,1(22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii??????????????????????????????????jijiDAaAaAajninjiji 02211 ? 典型方法 降階法 (利用 Gauss 消元法化為三角矩陣 :常常是將所有的行或列加到一起 )/特征值法 (矩陣的行列式等于其特征值之積 )/行列式的其它性質(zhì) (轉(zhuǎn)置矩陣 /逆矩陣 /伴隨矩陣 /矩陣之積 ) 例 1 計(jì)算下述三個(gè) n 階矩陣的行列式： 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 2 11 1 1 11 1 1 10,1 1 1 101 1 1 1xxxxAA B CxxBxx????????? ????? ? ?? ?????? ???????. 解 先算 |B|=xn。kk ?? . 求線性方程組 (I)的通解 。 ( 0 , 0 , 1 , 0 ) 39。A 也錯(cuò) ,因?yàn)榇藭r(shí)向量組 12, , , m? ? ? 當(dāng)然線性無(wú)關(guān) ,故是充分條件 ,但不必要 。 ( 1 2 3,? ? ? )=秩 ( 12,?? )。 對(duì)應(yīng)于 3 的全部特征向量為 ( 0 , 1 , 1 ) , ? 解 II. 解 I看似高明 ,實(shí)際不然 .還不如直接求 B來(lái)得快捷 .由于 A是 3階矩陣 ,A*容易用公式法計(jì)算 : *5 2 22 5 22 2 5A??????? ? ?????(由于 A的長(zhǎng)相實(shí)在漂亮 ,求一個(gè)對(duì)角元素一個(gè)非對(duì)角元素即可 ).接下來(lái) ,你看出來(lái)了嗎 ?對(duì) ,P 是兩個(gè)初等矩陣的乘積 :先是交換 1,2 兩行 ,再是把第 3 行加到第 2 行 !因此其逆 P 也為兩個(gè)初等矩陣的乘積 ,即先將第 3 行的 1 被加到第 2 行 ,在交換 1,2 兩行 .因此 1*0 1 1 5 2 2 0 1 0 7 0 01 0 0 2 5 2 1 0 1 2 5 4 .0 0 1 2 2 5 0 0 1 2 2 3B P A P?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?所以9 0 02 2 7 4 .2 2 5BE????? ? ? ?????故 B 的特征多項(xiàng)式為 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 20 29 0 0| 2 | 2 7 4 ( 9) ( 3 ) .2 2 5E B E?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? 故特征值為 9,9,3. 當(dāng) ?=9 時(shí) ,只有一個(gè)獨(dú)立方程 (取第二行即可 :2x+2y+4z=0,可得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 :?=(1,1,0),?=(2,0,1)。 (3) 由 (1)可知 ,A 的特征值只能是 1 或 4，故行列式 |2A+3E|?0，故 2A＋ 3E 可逆 (此步論證可以省略 ,見(jiàn)下 ).由 0=A2+3A4E=2(A2+3A4E) =(2A+3E)(A+3E/2)17E/2, 所以 (2A+3E)(A+3E/2)=17E/2。反之 ,若系數(shù)矩陣的秩相等 ,則它們的一個(gè)基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)相等 ,但由于后者的解總是前者的解 ,從而它們同解 . 例 51(1994) 設(shè) A 為非 0 實(shí)數(shù)矩陣 ,A*與 A?分別是 A 的伴隨矩陣與轉(zhuǎn)置矩陣 .設(shè) A*=A?,證明 A 可逆 . 證明 我們希望證明 |A|?0. 對(duì)于 A*與 A?,我們知道多少 ? A*由不僅容貌超群 (她頭上戴著一朵花 !),而且和逆矩陣關(guān)系密切 ,所以我們都記得 A*A=|A|E. 因此A?A=|A|E. 故若 |A|=0,則 A?A=0. 這在什么時(shí)候成立 ? 為回答此問(wèn)題 , 需要看清 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國(guó)最龐大的下載資料庫(kù) (版權(quán)歸原作者所有 ) 28 A?A 的長(zhǎng)相 . 故將 A 按 列 分 塊 , 設(shè) 12( , , ... , )nA ? ? ?? , 則1239。 * *39。 ? 留出 30 分鐘做檢查 . 祝大家取得好成績(jī)！ 謝謝大家！