湘教版高中數(shù)學(xué)必修112函數(shù)的概念和性質(zhì)(更新版)
【正文】 ?有使得則若注意 : , 定理不一定成立 。 a≠0時 x=0為 f(x)的可去間斷點。)(lim0Axfxx ?? .)()(lim 00 xfxfxx ??例 1 .0,0,0,0,1si n)(處連續(xù)在試證函數(shù) ????????? xxxxxxf證 ,01s i nl i m 0 ?? xxx?,0)0( ?f又.0)( 處連續(xù)在函數(shù) ?? xxf),0()(lim 0 fxfx ?? 。)()1( 0 處有定義在點 xxf。 。 有漸近線 二、介值定理 定理 2 ( 零點定理 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ? ?ba ,上連續(xù)，且 )( af 與 )( bf 異號 ( 即 0)()( ?? bfaf ),那末至少有一點 ? )( ba ??? ，使 0)( ??f .定義 : .)(,0)( 000的零點稱為函數(shù)則使如果xfxxfx ?.),(0)( 內(nèi)至少存在一個實根在即方程 baxf ?a b3?2?1?幾何解釋 : .,)(軸至少有一個交點線弧與則曲軸的不同側(cè)端點位于的兩個連續(xù)曲線弧xxxfy ?定理 3 ( 介值定理 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ? ?ba ,上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 Aaf ?)( 及 Bbf ?)( ,那末，對于 A 與 B 之間的任意一個數(shù) C ，在開區(qū)間? ?ba , 內(nèi)至少有一點 ? ，使得 Cf ?)( ? )( ba ??? .xyo)( xfy ?幾何解釋 : M B C A m a b 1? 2? 3? 2x1x xyo)( xfy ?證 ,)()( Cxfx ???設(shè),],[)( 上連續(xù)在則 bax?Cafa ?? )()(?且,CA ??Cbfb ?? )()(? ,CB ??,0)()( ??? ba ?? 由零點定理 , 使),( ba?? ?,0)( ??? ,0)()( ??? Cf ???即 .)( Cf ?? ?.)(至少有一個交點直線與水平連續(xù)曲線弧Cyxfy??推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值 . 例 1 .)1,0(014 23至少有一根內(nèi)在區(qū)間證明方程 ??? xx證 ,14)( 23 ??? xxxf令 ,]1,0[)( 上連續(xù)在則 xf,01)0( ??f又 ,02)( ???f 由零點定理 , 使),( ba?? ? ,0)( ??f ,014 23 ??? ??即.)1,0(014 23 ?內(nèi)至少有一根在方程 ???? xxM m例 2 .)(),(.)(,)(,],[)(??? ?????fbabbfaafbaxf使得證明且上連續(xù)在區(qū)間設(shè)函數(shù)證 ,)()( xxfxF ??令 ,],[)( 上連續(xù)在則 baxFaafaF ?? )()(而 ,0?由零點定理 , 使),( ba?? ? ,0)()( ??? ??? fFbbfbF ?? )()( ,0?.)( ?? ?f即例 4 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)， bdca ??? , 試證明：對任意正數(shù) qp 和 , 至少有一點 ],[ dc?? , 使 )()()()( ?fqpdqfcpf ??? ..),()( dcdfcf ??? ?? 或取證：若),()( dfcf ?否則，不妨設(shè)? ? ? ?
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