【正文】 ，得實(shí)數(shù) a 的取值范圍，﹣ 1＜ a≤ 0 或 a≥ 1 ②當(dāng) p 假 q 真時，則 ，實(shí)數(shù) a 的取值范圍：無解 ∴ 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是﹣ 1＜ a≤ 0 或 a≥ 1 19．某投資商到一開發(fā)區(qū)投資 72 萬元建起了一座蔬菜加工廠，經(jīng)營中，第一年支出 12 萬元，以后每年支出增加 4 萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入 50 萬元．設(shè) f（ n）表示前 n年的純利潤總和，（ f（ n） =前 n 年的總收入﹣前 n 年的總支出﹣投資額 72 萬元）． （ Ⅰ ）該廠從第幾年開始盈利？ （ Ⅱ ）該廠第幾年年平均純利潤達(dá)到最大？并求出年平均純利潤的最大值． 【考點(diǎn)】 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；函數(shù)最值的應(yīng)用． 【分析】 （ I）每年的支出構(gòu)成一個等差數(shù)列，每年的收入是一個常數(shù)列，故根據(jù) f（ n） =前 n 年的總收入﹣前 n 年的總支出﹣投資額 72 萬元，可建立函數(shù)關(guān)系； （ II）求出年平均純利潤 ，再利用基本不等式，即可求得年平均純利潤的最大值． 【解答】 解：（ I）依題意，根據(jù) f（ n） =前 n 年的總收入﹣前 n 年的總支出﹣投資額 72萬元 可得 f（ n） =50n﹣ [12n+ 4]﹣ 72=﹣ 2n2+40n﹣ 72 由 f（ n） ＞ 0，即﹣ 2n2+40n﹣ 72＞ 0 解得 2＜ n＜ 18 由于 n∈ N+，故從第三年開始贏利． （ II）年平均純利潤 ∵ ∴ ∴ 當(dāng)且僅當(dāng) n=6 時等號成立，此時年平均純利潤最大值為 16 萬元， 即第 6 年，投資商年平均純利潤達(dá)到最大，年平均純利潤最大值 16 萬元． 20．設(shè)數(shù)列 {an}的前 n 項和為 （ Ⅰ ）求 a1， a2 （ Ⅱ ）設(shè) =an+1﹣ 2an，證明：數(shù)列 {}是等比數(shù)列 （ Ⅲ ）求數(shù)列 的前 n 項和為 Tn． 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定． 【分析】 （ Ⅰ ）令 n=1 得到 s1=a1=2 并推出 an，令 n=2 求出 a2， s2得到 a3推出 a4即可； （ Ⅱ ）由已知得 an+1﹣ 2an=（ Sn+2n+1）﹣（ Sn+2n） =2n+1﹣ 2n=2n 即為等比數(shù)列； （ III）將 代入數(shù)列 的前 n 項和 Tn，利用錯位相減法即可求得結(jié)果． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ a1=S1， 2a1=S1+2， ∴ a1=2， S1=2， 由 2an=Sn+2n 知， 2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1 得 an+1=sn+2n+1①， ∴ a2=S1+22=2+22=6； （ Ⅱ ）由題設(shè)和 ①式知 an+1﹣ 2an=（ Sn+2n+1）﹣（ Sn+2n） =2n+1﹣ 2n=2n， 即 =2n， ∴ =2（常數(shù)）， ∴ {}是首項為 2，公比為 2 的等比數(shù)列． （ Ⅲ ） ∵ =an+1﹣ 2an=2n， ∴ = ， ∴ 數(shù)列 的前 n 項和 Tn= + + +…+ ， Tn= ++ +…+ + ， 相減得 Tn= + + …+ ﹣ = + ﹣ = ﹣﹣ ， ∴ Tn= ． 21．已知橢圓 的左焦點(diǎn) F 為圓 x2+y2+2x=0 的圓心，且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn) F 的距離最小值為 ． （ Ⅰ ）求橢圓方程； （ Ⅱ ）已知經(jīng)過點(diǎn) F的動直線 l與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A、 B，點(diǎn) M（ ），證明：為定值． 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問題；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】 （ I）先求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)題意求出 a、 b，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． （ II）根據(jù)直線的斜率是否存在，分情況設(shè)直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立方程組，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證． 【解答】 解：（ I） ∵ 圓 x2+y2+2x=0 的圓心為（﹣ 1， 0），依據(jù)題意 c=1， a﹣ c= ﹣ 1， ∴ a= ． ∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是： +y2=1； （ II） ①當(dāng)直線 L 與 x軸垂直時， L 的方程是： x=﹣ 1， 得 A（﹣ 1， ）， B（﹣ 1，﹣ ）， ? =（ ， ） ?（ ，﹣ ） =﹣ ． ②當(dāng)直線 L 與 x軸不垂直時，設(shè)直線 L 的方程為 y=k（ x+1） ?（ 1+2k2） x2+4k2x+2k2﹣ 2=0， 設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），則 x1x2= ， x1+x2=﹣ ， =（ x1+ ， y1） ?（ x2+ ， y2） =x1x2+ （ x1+x2） + +k2（ x1x2+x1+x2+1） =（ 1+k2） x1x2+（ k2+ ）（ x1+x2） +k2+ =（ 1+k2）（ ） +（ k2+ ）（﹣ ） +k2+ = + =﹣ 2+ =﹣ 綜上 ? 為定值﹣ ． 2020 年 8 月 5 日