平面向量中“三點(diǎn)共線定理”妙用(更新版)
【正文】 對(duì)平面內(nèi)任意的兩個(gè)向量的充要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使由該定理可以得到平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理：三點(diǎn)共線定理：在平面中A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件是：對(duì)于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)的O，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得：且。推廣2：如圖10所示：已知平面內(nèi)一條直線AB,兩個(gè)不同的點(diǎn)O與P.圖10 點(diǎn)O,P位于直線AB同側(cè)的充要條件是：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得：且。對(duì)于選項(xiàng)B、C,都有,但當(dāng)時(shí)，①如果點(diǎn)P在直線AB上，則由平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量式定理可知：②如果點(diǎn)P在直線OM上，OM∥AB可知：，由平面向理共線定理可知：存在唯一的實(shí)數(shù)t,使得，又因?yàn)辄c(diǎn)P在兩平行直線AB、OM之間，所以，故B選不符合。例1（06年江西高考題理科第7題）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，且A、B、C三點(diǎn)共線，（設(shè)直線不過點(diǎn)O），則S200=（ ）A．100 B．101 C．200 D．201解：由平面三點(diǎn)共線的向量式定理可知：a1+a200=1,∴,故選A。解：三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x使得 , ,…………………①又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)使得 ，…………………………… ②由①②兩式可得： PABCMN點(diǎn)評(píng)：本題的解法中由兩組三點(diǎn)共線（F、G、B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上），利用平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理構(gòu)造方程組求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本題的運(yùn)算復(fù)雜，達(dá)到了簡(jiǎn)化解題過
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