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102對偶空間(更新版)

2025-09-02 14:07上一頁面

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【正文】 .ic i n??12( ) , ( ) , , ( )np x p x p x? 線性無關 . ② d i m [ ] .nP x n?12( ) ( ) ( )np x p x p x? 為基 . 則線性函數(shù)滿足 ? 1,( ( ) ) ( ) 0,i j j i ijL p x p a ij??? ?因此 是 的對偶基 . 12, , , nL L L12( ) , ( ) , , ( )np x p x p x設 是在 點的取值函數(shù)： * ( 1 , 2 , , )iL V i n?? ia( ( ) ) ( ) , ( ) , ( 1 , 2 , , )iiL p x p a p x V i n? ? ?定理 3 設 與 為線性 12, , , n? ? ? 12, , , n? ? ?空間 V的兩組基，其的對偶基分別為 12, , , nf f f與 12, , , .ng g g如果 1 2 1 2( , , , ) ( , , , ) ,nn A? ? ? ? ? ??則 到 的過渡矩陣為 12, , , nf f f12, , , ng g g 1( 39。 ( , , ) 1 1 21 1 1g g g f f f A f f f????? ? ???????1 2 3 1 2 31 1 0( , , ) ( , , ) 0 1 1 ,1 1 1? ? ? ? ? ???? ?????解： 1 1 0 1 1 00 1 1 0 1 1 1 0,1 1 1 0 2 1? ? ? ??而 例 是一個線性空間， 是 中的 12, , , nf f f*VV非零向量 . 證明： 存在 使 ,V?? ( ) 0 , 1 , 2 , , .if i n? ??證 ： 的核 是 的真子空間，否則 if ker if V( ) 0 ,ifV ? , ( ) 0 .iVf??? ? ?即 從而 ? 與已知矛盾 .
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