【正文】 F2→＋ F2Q→＝ 0. ( 1) 求橢圓 C 的離心率； ( 2) 若過 A 、 Q 、 F2三點的圓恰好與直線 l： x － 3 y － 3 ＝ 0相切，求橢圓 C 的方程； ( 3) 在 ( 2) 的條件下，過右焦點 F2作斜率為 k 的直線 n 與橢圓 C 交于 M 、 N 兩點，在 x 軸上是否存在點 P ( m, 0) ，使得以 PM ， PN 為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出 m的取值范圍；如果不存在，說明理由． 解析： (1) 設 Q ( x0,0) ， ∵ F2( c, 0) ， A (0 ， b ) ， ∴ F2A→＝ ( － c ，b ) ， AQ→＝ ( x0，－ b ) ． ∵ F2A→⊥ AQ→， ∴ － cx0－ b2＝ 0 ， ∴ x0＝－b2c. ∵ 2 F1F2→＋ F2Q→＝ 0 ，即 F1為 F2Q 的中點， ∴ －b2c＋ c ＝－ 2 c ， ∴ b2＝ 3 c2＝ a2－ c2，即 a2＝ 4 c2， ∴ 橢圓 C 的離心率 e ＝12. ( 2) 由 ( 1) 知ca＝12，得 c ＝12a ，于是 F2(12a, 0) ， Q ( －32a ， 0) ，△ AQ F2的外接圓圓心為 F1( －12a, 0) ，半徑 r ＝12| F2Q |＝ a ， 由此外接圓與直線 l 相切，得|－12a － 3|2＝ a ，解得 a ＝ 2 ，∴ c ＝ 1 ， b ＝ 3 ， 故所求橢圓 C 的方程為x24＋y23＝ 1. ( 3) 由 ( 2) 知 F2( 1,0) ， n ： y ＝ k ( x － 1 ) ． 由聯(lián)立方程????? y ＝ k ? x － 1 ? ，x24＋y23＝ 1 ，消去 y 得， (3 ＋ 4 k2) x2－ 8 k2x ＋ 4 k2－ 12 ＝ 0. 設 M ( x1， y1) ， N ( x2， y2) ， 則 x1＋ x2＝8 k23 ＋ 4 k2 ， y 1 ＋ y 2 ＝ k ( x 1 ＋ x 2 － 2) ， PM→＋ PN→＝ ( x1－ m ， y1) ＋ ( x2－ m ， y2) ＝ ( x1＋ x2－ 2 m ， y1＋y2) ．由于菱形的兩 條對角線互相垂直，則 ( PM→＋ PN→) ? x ， y ?2＝? － 3 ， 4 ? 南通模擬 ) 已知向量 m ＝ ( 3 sinx4， 1) ， n ＝( c osx4， c os2x4) ． ( 1) 若 m BC→. (1) 求證： tan B ＝ 3tan A ； (2) 若 c os C ＝55，求 A 的值． 分析： (1) 利用數(shù)量積的定義可列出角 A 、 B 的關系式，再通過三角恒等變換證明 tan B ＝ 3tan A ； (2) 由 c os C ＝55，可求tan C ，進而可 求 tan( A ＋ B ) ，再利用兩角和與差的正切公式可得 tan A 的值，從而求得角 A . 解析： ( 1) 因為 AB→ c os B ，由正弦定理知ACsin B＝BCsin A， 從而 sin B c os A ＝ 3sin A c os B ， 又因為 0 A ＋ B π ，所以 c os A 0 ， c os B 0 ， 所以 tan B ＝ 3ta n A . ( 2) 因為 c os C ＝55， 0 C π ， 所以 sin C ＝ 1 － c os2C ＝2 55， 從而 tan C ＝ 2 ，于是 tan [ π － ( A ＋ B )] ＝ 2 ， 即 tan ( A ＋ B ) ＝－ 2 ， 亦即tan A ＋ tan B1 － tan A tan B＝－ 2 ， 由 ( 1) 得4ta n A1 － 3ta n2A＝－ 2 ，解得 tan A ＝ 1 或－13， 因為 c os A 0 ，故 tan A ＝ 1 ，所以 A ＝π4. 點評： 本小題主要考查平面向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的基本關系式、兩角和的正切公式、解三角形，考查運算求解能力和推理論證能力，難度適中． ( 理 ) ( 201 1NP→成公差小于零的等差數(shù)列． ( 1) 點 P 的軌跡是什么曲線？ ( 2) 若點 P 的坐標為 ( x0， y0) ，記 θ 為 PM→與 PN→的夾角，求tan θ . 平面向量與其他知識的綜合 解析： ( 1) 設 P ( x ， y ) ，則 PM→＝－ MP→＝ ( － 1 － x ，－ y ) ， PN→＝－ NP→＝ (1 － x ，－ y ) ， MN→＝－ NM→＝ ( 2,0) ， ∴ MP→OB→取得最小值時，點 B 的個數(shù)是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．無數(shù)個 解析： 作出不等式組????? ? x － 1 ?2＋ ? y － 1 ?2≥ 1 ，1 ≤ x ≤ 2 ，1 ≤ y ≤ 2 ，表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分， A ( 1,1) 為圓心， B 為陰影部分內(nèi) 任一點 OA→ba1 － ?ba?2＝－ba， ∴ (ba)2＝ 3 ， ∴c2－ a2a2 ＝ 3 ， ∴ e ＝ca＝ 2. 2 ． ( 文 ) ( 2020n |≤ 5 ，即 |f ( x )| ≤ 5 ，故函數(shù) f ( x ) 的最大值為 5. 課后強化作業(yè) （點此鏈接）