ch5年金精算現(xiàn)值(更新版)
【正文】 3. 生存年金精算現(xiàn)值的概念： 1:nnxxnA v p?注意： 精算現(xiàn)值因子與躉繳純保費(fèi) 精算積累因子 11nnxnxE vp?定義精算現(xiàn)值因子： nn x n xE v p? 例 某人遺囑中記錄，其兒子年滿 21歲時(shí)可獲得 其 5萬元遺產(chǎn)。 解： 35 3035 30 65351500 0 500 0 976611500 0 818335 ( )lEl? ? ?? ? ?? 元 167。 每年給付數(shù)次的年金 1 終身生存年金 ?模型：（ x） ,終身生存年金，每年支付 m次，期初支付， 每次支付 1/m. ?精算現(xiàn)值： ?給付現(xiàn)值隨機(jī)變量： 視 1/m段為一年， L表示活過的整 1/m段數(shù)，實(shí)際利率為 ， 實(shí)際貼現(xiàn)率為 ，于是考慮每次付款額為 1/m的年金 ()01 km mx k xk ma v pm?????()mim()mdm()11miL mYam?? ( ) ( )( 1 ) ( 1 )()( ) ( ) ( )1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1mmLLmxm m mii EAE Y Ed d d? ? ? ?? ? ? ??? ? ?()()mxxmiAAi?其中， ( ) ( ) ( )1 m m mxxd a A??()()( 1 )()11 ( 1 )11mmLmiLmimYadmmm?????? ? ? ?兩類年金精算現(xiàn)值關(guān)系 ()mxxaa與()()( ) ( ) ( )1mxx mm m mx x x xiAAid a A d a A????? ? ? ? ??由上兩式，可得 ()()( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( )( ) ( )mmxxm m m mmxxid i iaai d i dmma m a m??????????? () ( ) ( )mxxa m a m????精確公式： i很小時(shí) ，因此有 近似公式 1( ) 1 , ( )2mmmm?????() 12mxxmaam???對(duì)上述近似公式的說明：根據(jù)下面提示得到 ()0 | 1 2 1| | ||1()1, ( 1 , 2 , , )mx x x x m xm m mk x xma a a a amkma a kmm?? ? ? ? ??? ? ? 2 定期生存年金 模型 ： (x)期初付、 n年期、每年給付 m次，每次給付 1/m. 精算現(xiàn)值： ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]x n x x nm a m E m a m? ? ? ??? ? ? ? ?( ) ( ) ( ):m m mx n x x nxna a E a ?? ? ?()::1( 1 )2mnxx n x nma a Em?? ? ?:( ) ( ) ( 1 )nxxnm a m E??? ? ? 3 延期終身生存年金 模型 ： (x)期初付、延期 h年、終身年金、每年給付 m次，每次給付 1/m. 精算現(xiàn)值： ()||()||[ ( ) ( ) ]( ) ( )12mh x h x x hh x h xmh x h x h xa E m a mm a m Ema a Em???????? ? ??? ? ? 4 期末付終身生存年金 模型 ： (x)每期期末付、終身年金、每年給付 m次，每次給付 1/m. 精算現(xiàn)值： ( ) ( ) 1mmxxaa m??112xmamm?? ? ?1211212xxxmammammam????? ? ???? 例 (35)欲購買如下生存年金，已知下列年金均 于每月初給付，每次給付 1000元，設(shè)年利率 6%。 解： ( 1 2 ) ( 1 2 )( 1 2 )( 1 2 ) ( 1 2 )( 1 2 ) 1 . 0 0 0 2 8 0 9 5 ,( 1 2 ) 0 . 4 6 8 1 1 8 8 8ididiiid??????? ( 1 2 )( 1 2 ) 3 0 3 0 3 0303 0 3 0( 1 2 ) ( 1 2 )( 1 ) 2 4 0 1 2 2 8 8 0 2 8 8 0( 1 2 ) 2 7 4 3 7 6 7 ( 1 2 ) 1 7 0 0 3 7 .82 8 8 0 4 5 1 3 7 .1 8 ( )1 7 0 0 3 7 .8N N DaDD?????? ? ???? 元( 12 )( 12 ) 40 40 403010 |30 30( 2)( 12) ( 12)240 12 2880 2880( 12) 1422022 ( 12) 2880 ( )N N DaDD?????? ? ???? 元( 12 ) ( 12 )( 12 ) 30 4030 :103030 30 40 4030( 3 )240 12 2880[ ( 12) ( 12) ] [ ( 12) ( 12) ]2880 ( )NNaDN D N DD? ? ? ????? ? ??? ? ? 元 例 求 (30)每年支付 1200元的下列期末付終身生存 年金的精算現(xiàn)值（ 6%
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