【正文】 。其概率密度函數(shù)()為:　　　　　　現(xiàn)轉(zhuǎn)入尋求一些事件的概率，在上述假定下，這塊面積可用積分計(jì)算:　　順便指出，在計(jì)算面積時，一條直線的面積為零，譬如在這個例子中P(T=100)=0，即該推土機(jī)完成維修時間不早不遲恰好在100分鐘的概率為零，由于這個原因，事件“T≤100”與事件“T100”的概率是相等的，即P(T≤100)=P(T100)。而X在區(qū)間(a，b)上取值的概率P(aXb)為概率密度曲線以下，區(qū)間(a，b)上的面積()。當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)很多，分組很細(xì)時，連接直方圖中每個矩形上邊中點(diǎn)的折線就接近一條光滑的曲線，這條曲線的函數(shù)即為p(x)?！　±齕]擲兩顆骰子，其樣本空間為:　　　　考察與這個隨機(jī)現(xiàn)象有關(guān)的一些隨機(jī)變量:　　(1)設(shè)X表示“擲兩顆骰子，6點(diǎn)出現(xiàn)的個數(shù)”，它的分布列為:　　　　(2)設(shè)Y表示“擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和”:　　　　這些隨機(jī)變量X，Y都是各從一個側(cè)面表示隨機(jī)現(xiàn)象的一種結(jié)果，每個隨機(jī)變量的值是隨機(jī)的，但其分布告訴我們每個隨機(jī)變量取值概率，使人們不僅對全局做到心中有數(shù)，而且還看到X取哪些值的可能性大，X取哪些值的可能性小，譬如:　　X取0可能性最大，X取2的可能性最小；　　Y取7的可能性最大，Y取2，12的可能性最?。弧　∵@些分布中的概率都可用古典方法獲得，每個概率都是非負(fù)的，其和均為1。類似地，檢驗(yàn)10個產(chǎn)品，其中不合格品數(shù)X是僅可能取0，1，…，10等11個值的離散隨機(jī)變量?？捎秒S機(jī)變量X的取值來表示事件:“X=0”表示事件“鑄件上無瑕疵”，“X=2”表示事件“鑄件上有兩個瑕疵”，“X2”表示事件“鑄件上的瑕疵超過兩個”等等?！　　　]，記事件AX=“烏龜活到X歲”，從表中可以讀出P(A20)=，P(A80)=?！　⌒再|(zhì)6:對任意兩個事件A與B，有:　　P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)()　　其中第一個等式成立要求P(B)0，第二個等式成立要求P(A)0。余下就是用古典方法算得:Ai的概率。人們對各類的英語書刊中字母出現(xiàn)的頻率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。　　(二)統(tǒng)計(jì)定義　　用概率的統(tǒng)計(jì)定義確定概率方法的要點(diǎn)如下:　　(1)與考察事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗(yàn)的；　　(2)若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生kn次，則事件A發(fā)生的頻率為:　　頻率fn(A)確能反映事件A發(fā)生的可能性大小；　　(3)頻率fn(A)將會隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率?！　∈录﨎0=“全是合格品”發(fā)生必須從NM個合格品中用放回抽樣方式隨機(jī)抽取n次，它共含有(NM)n種取法，故事件B0的概率為:　　　　事件B1=“恰好有一件不合格品”發(fā)生，必須從NM個合格品中用放回抽樣抽取n1次，而從M個不合格品中抽一次。因?yàn)?0個產(chǎn)品中只有2個不合格品，而要從中抽出3個或4個不合格品是不可能的。故事件A0的概率為　　事件A1=“恰好有1個不合格品”，要使取出的n個產(chǎn)品只有一個不合格品，其他n1個是合格品，可分二步來實(shí)現(xiàn)?！　±纾瑥?0個產(chǎn)品中任取4個做檢驗(yàn)，所有可能取法是從10個中任取4個的組合數(shù)，則不同取法的種數(shù)為:　　這是因?yàn)槿〕龅?個產(chǎn)品的全排列有4!=24種?！　?3)排列:從n個不同元素中任取r(r≤n)個元素排成一列稱為一個排列?！　?3)定義事件C=“點(diǎn)數(shù)之和超過9”={(4，6)，(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，它含有6個樣本點(diǎn)，故P(C)=6/36 =1/6。一個隨機(jī)事件A發(fā)生可能性的大小用這個事件的概率P(A)來表示?！　　　?四)概率——事件發(fā)生可能性大小的度量　　隨機(jī)事件的發(fā)生與否是帶有偶然性的。對立事件是相互的，A的對立事件是，的對立事件必是A?！　?2)互不相容:在一個隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A與B沒有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B互不相容。下面幾個事件可用集合表示，也可用語言表示。　　(3)事件A的表示可用集合，也可用語言，但所用語言應(yīng)是明確無誤的?！　‰S機(jī)現(xiàn)象在質(zhì)量管理中到處可見。當(dāng)然可以先將其取絕對值，再進(jìn)行平均，這就是平均絕對差:　　　　但是由于對絕對值的微分性質(zhì)較差，理論研究較為困難，因此平均絕對差使用并不廣泛。注意到該數(shù)與前面定的344相差不大。　　樣本中位數(shù)定義為有序樣本中位置居于中間的數(shù)值，具體地說:　　　　〔]，得到如下有序樣本:　　， 這里n=5為奇數(shù)，(n+1)/2=3，因而樣本中位數(shù)Me=x(3)=?！　】梢詮闹狈綀D獲得數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，其中包含數(shù)據(jù)取值的范圍，以及它們的集中位置和分散程度等信息?！　　　?5)作頻數(shù)頻率直方圖　　在橫軸上標(biāo)上每個組的組限，以每一組的區(qū)間為底，以頻數(shù)(頻率)為高畫一個矩形，所得的圖形稱為頻數(shù)(頻率)直方圖。組距可以相等，也可以不相等。直方圖是為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律而對數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法?！　∩鲜隹傮w、個體和樣本的概念是統(tǒng)計(jì)的基本概念，從上面的敘述中，這些概念都可以是具體的產(chǎn)品。例如某個工廠在一個月內(nèi)按照一定材料及一定工藝生產(chǎn)的一批燈泡。第一章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識在統(tǒng)計(jì)中，將研究、考察對象的全體稱為總體。通過對樣本的觀測來對總體特性進(jìn)行研究，是統(tǒng)計(jì)的核心。　　為了研究數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的加工整理?！　∶恳唤M的區(qū)間長度，稱為組距?！　?4)計(jì)算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率　　確定分組后，統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，即落在組中的數(shù)據(jù)個數(shù)ni以及頻率fi=ni/n，列出每組的頻數(shù)、頻率表。　　如果以每組的累積頻率Fi為高作矩形，所得的直方圖稱為累積頻率直方圖。在確定樣本中位數(shù)時，需要將所有樣本數(shù)據(jù)按其數(shù)值大小從小到大重新排列成以下的有序樣本:　　x(1)，x(2)，…，x(n)其中x(1)=xmin，x(n)=xmax分別是數(shù)據(jù)的最小值與最大值。在本例中第5組(，]，是所有組中最高的，因而該組的組中值345可以作為眾數(shù)的估計(jì)。對離差不能直接取平均，因?yàn)殡x差有正有負(fù)，取平均會正負(fù)相抵，無法反映分散的真實(shí)情況。(三)樣本變異系數(shù)　　樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本均值之比稱為樣本變異系數(shù)，有時也稱之為相對標(biāo)準(zhǔn)差，記為cv:　　，樣本變異系數(shù)cv=?！　　瞉隨機(jī)現(xiàn)象的例子:　　(1)一天內(nèi)進(jìn)入某超市的顧客數(shù)；　　(2)一顧客在超市中購買的商品數(shù)；　　(3)一顧客在超市排隊(duì)等候付款的時間；　　(4)一顆麥穗上長著的麥粒個數(shù)；　　(5)新產(chǎn)品在未來市場的占有率；　　(6)一臺電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時間；　　(7)加工機(jī)械軸的直徑尺寸；　　(8)一罐午餐肉的重量。　　(2)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生，若記ω1，ω2是Ω中的兩個樣本點(diǎn)():　　當(dāng)ω1發(fā)生，且ω1∈A(表示ω1在A中)，則事件A發(fā)生；　　當(dāng)ω2發(fā)生，且ω2A(表示ω2不在A中)，則事件A不發(fā)生?！　ˇ?{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}其中樣本點(diǎn)(0，1)表示第一件產(chǎn)品為合格品，第二件產(chǎn)品為不合格品，其他樣本點(diǎn)可類似解釋。顯然，對任一事件A，有ΩAφ?？梢娋褪恰癆不發(fā)生”，例如在檢查一匹布中，事件“至少有一個疵點(diǎn)”的對立事件是“沒有疵點(diǎn)”?！　　　?4)事件A對B的差，由在事件A中而不在B中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A對B的差，記為AB?！　∩鲜稣娉霈F(xiàn)的機(jī)會、市場占有率、中簽率以及常見的廢品率、命中率等都是用來度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小?！　?2)定義事件B=“點(diǎn)數(shù)之和為5”={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，它含有4個樣本點(diǎn)，故P(B)=4/36=1/9?！　±?，由甲城到乙城去旅游有三類交通工具:汽車、火車和飛機(jī)，而汽車有5個班次，火車有3個班次，飛機(jī)有2個班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個班次供旅游選擇?！　?5)組合:從n個不同元素中任取r(r≤n)個元素并成一組(不考慮其間順序)稱為一個組合，此種組合數(shù)為:規(guī)定0!=1，因而　　=1。要使取出的n個產(chǎn)品全是合格品，那必須從該批中NM個合格品中抽取，這有　　種取法?！　〖偃缃o定N=10，M=2和n=4，下面來計(jì)算諸事件Am的概率:　　　　而A3，A4等都是不可能事件。由于每次都有N種可能，故在放回抽樣的問題中共有Nn種等可能的樣本點(diǎn)?！　∮谑侵TBm發(fā)生的概率為:　　P(B0)==　　P(B1)=4=　　　　P(B4)==　　可見，在放回抽樣中，B0和B1發(fā)生的可能性最大，而B4發(fā)生的可能性很小，B4在1000次中發(fā)生還不到二次?！　?2)在英語中某些字母出現(xiàn)的頻率遠(yuǎn)高于另外一些字母。再由性質(zhì)1，立即可得:　　P(A3)=1P()=11/8=7/8=　　[]一批產(chǎn)品共100件，其中5件不合格品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出10件，其中最多有2件不合格品的概率是多少?　　解:設(shè)A表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件A=“最多有2件不合格品”可表示為:　　A=A0∪A1 U A2并且A0，A1，A2為三個互不相容事件，由性質(zhì)(5)P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)。條件概率的計(jì)算公式為:　　這表明:條件概率可用兩個特定的(無條件)概率之商來計(jì)算，在舉例說明之前，先導(dǎo)出概率的乘法公式?！　☆愃频?，利用這個解釋，可得P(B|A)=5/15=1/3。要求的概率為P(A1 A2 A3)，由于三個標(biāo)本相互獨(dú)立，所以:　　P(A1 A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=()3= 這個概率是很小的。例如:　　(1)設(shè)X是一只鑄件上的瑕疵數(shù)，則X是一個離散隨機(jī)變量，它可以取0，1，2，…等值?！癤=0”表示合格品，“X=　　1”表示不合格品。滿足這兩個條件的分布稱為離散分布，這一組pi也稱為分布的概率函數(shù)。在第一節(jié)中，已經(jīng)詳細(xì)介紹過根據(jù)一批樣本數(shù)據(jù)繪制頻率直方圖的方法?！　　　∵@里應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是:圖上的縱軸原是“單位長度上的頻率”，由于頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，從而縱軸就成為“單位長度上的概率”，這是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線，它一定位于x軸上方(即p(x)≥0)，并且與x軸所夾面積恰好為1。實(shí)際中不少產(chǎn)品發(fā)生失效(故障)的時間，或發(fā)生故障后需要維修的時間都服從指數(shù)分布，例如某廠生產(chǎn)的推土機(jī)發(fā)生故障后的維修時間T(單位:分)服從指數(shù)分布Exp(002)?！　》讲钣脕肀硎痉植嫉纳⒉即笮?，用Var(X)表示，方差大意味著分布的散布較寬、較分散，方差小意味著分布的散布較窄、較集中?！　　瞉看圖識方差(與標(biāo)準(zhǔn)差)。　　(從而標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下是逐漸減小的。　　(2)n次試驗(yàn)間相互獨(dú)立，即一次試驗(yàn)結(jié)果不對其他次試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。從此圖上可以看出分布的形態(tài)，哪些x上的概率大，哪些x上的概率小?！　?1)在一個月內(nèi)發(fā)生1起重大事故的概率為:　　類似地也可計(jì)算X取其他值的概率，現(xiàn)羅列于如下分布列中:　　　　對泊松分布來說，X可以取8，9，…等值?！　〗?按題意知，X服從超幾何分布h(n，N，M)，其中N=20，M=5，n=8，r=min(n，M)=5，所求的分布為:　　當(dāng)X=0時，可算得:　　X=1時，可算得:　　類似可算得X=2，3，4，5的概率。　　固定標(biāo)準(zhǔn)差σ時，不同的均值，如μ1μ2，對應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀完全相同，僅位置不同，(a)。根據(jù)u的值可在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(附表11)上查得，例如事件“U≤”的概率可從附表12上查得　　P(U≤)=Φ()=　　，()?！　?2)(0，1)，也稱為90%分位數(shù)或90百分位數(shù)?！　　　‖F(xiàn)在轉(zhuǎn)入正態(tài)分布的計(jì)算?！　　　「鶕?jù)性質(zhì)2中(3)，讓區(qū)間端點(diǎn)隨著標(biāo)準(zhǔn)化變換而變化，最后可得:　　　　從這個例子可以看到標(biāo)準(zhǔn)化變換在正態(tài)分布計(jì)算中的作用，數(shù)不清的各種正態(tài)分布計(jì)算都可通過一張標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來實(shí)現(xiàn)，關(guān)鍵在于標(biāo)準(zhǔn)化變換。現(xiàn)從現(xiàn)場得知該廠電阻器的阻值X服從正態(tài)分布，其均值μ=，標(biāo)準(zhǔn)差σ=。kσ，其中k為某個實(shí)數(shù)，則有:　　合格品率=P(|Xμ|≤kσ)=2Φ(k)1；　　不合格品率=P(|Xμ|kσ)=2〔1Φ(k)]；　　對k=1，2，3，4，5，6，可通過查附表12算得上述各種概率，其中不合格品率用ppm(106)單位表示，特別過小的不合格品率更是如此?！　　　?3)最重要的特征是:若隨機(jī)變量X服從對數(shù)正態(tài)分布，則經(jīng)過對數(shù)變換Y=lnX(ln是自然對數(shù))后服從正態(tài)分布，即原來X的分布是(右)偏態(tài)分布，經(jīng)對數(shù)變換后，成為正態(tài)分布，或者說對數(shù)正態(tài)變量經(jīng)對數(shù)變換后為正態(tài)變量。中心極限定理表明，當(dāng)n比較大，樣本均值的分布總是近似于正態(tài)分布?！　≡賮碛懻摌颖荆粋€樣本量為n的樣本是從總體中抽取的n個個體，這n個樣本觀測值x1，x2，…，xn可以看成為隨機(jī)變量X的n次實(shí)現(xiàn)值?！　?2)獨(dú)立性。分布愈分散，樣本也很分散；分布愈集中，樣本也相對集中些?！　〔缓粗獏?shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。而所有這些又必然與總體的分布、均值與方差有關(guān)。根據(jù)前述給出的的均值與方差的結(jié)果，得知當(dāng)n大時，近似N(μ，σ2/n)。當(dāng)自由度超過30以后，兩者區(qū)別已不大。　　根據(jù)樣本對總體進(jìn)行推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心，參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩個基本內(nèi)容。例如二項(xiàng)分布b(n；p)的均值npq=np(1p)中的未知成分只是未知參數(shù)p，因此只要對p進(jìn)行了估計(jì)，均值的估計(jì)也就完全解決了。但是我們可以通過多次抽樣，對不同樣本，的不同具體估計(jì)值，對實(shí)際偏差θ進(jìn)行“平均”。　　()式中的第二項(xiàng)表示的是對其均值E()差的平方的均值，稱為估計(jì)量的方差。例如對任何總體，樣本均值對總體均值μ的估計(jì)總是無偏的，樣本方差s2對總體方差σ2的估計(jì)也總是