概率論中幾種具有可加性的分布及其關(guān)系(更新版)
【正文】 下所示： …，其中大于，記作.對(duì)于泊松分布而言，它的參數(shù)即是期望又是它的方差： . 又因， = = =故的方差為= 設(shè)隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，則 證明 此處根據(jù)卷積公式，有 所以即證！ 同樣我們可以利用特征函數(shù)對(duì)其進(jìn)行證明，此處不再贅述. 正態(tài)分布 正態(tài)分布的定義[6] 對(duì)于已經(jīng)給定的兩個(gè)常數(shù)和0，定義函數(shù) ，取正值.我們稱(chēng)密度函數(shù)為的分布為正態(tài)分布，記作，它的分布函數(shù)記為 正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像是一條鐘形曲線，中間高兩邊低，而且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，在此處取最大值我們稱(chēng)為該正態(tài)分布的中心，在附近取值的可能性比較大，在處有拐點(diǎn).若將固定，改變的取值，則越大，曲線峰頂越低，圖像較為平坦；越小，曲線封頂越高，故稱(chēng)為尺度參數(shù).同樣的，將固定，而去改變的值，會(huì)發(fā)現(xiàn)圖像沿軸平移而并不改變形狀，也就說(shuō)明該函數(shù)的位置由決定，故稱(chēng)其為位置參數(shù).當(dāng)時(shí)的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化 對(duì)于正態(tài)分布族 ，. 如果隨機(jī)變量，則，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量.證明 記與的分布函數(shù)分別為和，易知因?yàn)檎龖B(tài)分布函數(shù)嚴(yán)格遞增而且處處可導(dǎo)，所以如果記和的密度函數(shù)分別是和，會(huì)有 由此即得， 即證.對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為 因被積函數(shù)為奇函數(shù)，故上述積分值為0，也就是說(shuō)而對(duì)于一般正態(tài)變量，如果滿足，由數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)則可得到所以我們可以知道正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望即為其參數(shù).因?yàn)? 且,由方差的性質(zhì) 也就是說(shuō)，正態(tài)分布的方差即是其另一個(gè)參數(shù) 正態(tài)分布的可加性 設(shè)隨機(jī)變量而且和彼此獨(dú)立，且則有證明 知服從于正態(tài)分布，且它們的密度函數(shù)分別是 又因彼此獨(dú)立，所以 這正是數(shù)學(xué)期望為方差為的正態(tài)分布的特征函數(shù)，即證！我們同樣可以使用連續(xù)場(chǎng)合的卷積公式進(jìn)行證明，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[5]，此處不再贅述. 伽瑪分布在討論伽瑪分布之前，我們先來(lái)看一下伽瑪函數(shù)：我們稱(chēng) 為伽瑪函數(shù)，： ① ②取自然數(shù)的時(shí)候，有 伽瑪分布的定義 如果隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 就稱(chēng)作服從伽瑪分布，為嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù)，在處取得奇異點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，亦嚴(yán)格單調(diào)減，且時(shí)有 當(dāng)時(shí)，為單峰函數(shù)，先上凸然后下凸； 當(dāng)時(shí)，先下凸再上凸，逐漸接近于正態(tài)分布的密度函數(shù). 伽瑪分布的可加性 設(shè)隨機(jī)變量且和彼此獨(dú)立，則證明 知 且與彼此獨(dú)立，所以 此即為的特征函數(shù)，根據(jù)惟一性定理則可知結(jié)論得證！ 如正態(tài)分布，對(duì)于伽瑪分布，我們同樣可以利用連續(xù)場(chǎng)合的卷積公式對(duì)其可加性進(jìn)行證明，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。18
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