數(shù)學(xué)經(jīng)典例題集錦：數(shù)列含答案資料(更新版)
【正文】 ∴例題3. 已知數(shù)列的前三項(xiàng)與數(shù)列的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，且對(duì)任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列. ⑴求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；⑵是否存在，使得，請(qǐng)說(shuō)明理由. 點(diǎn)撥：（1）左邊相當(dāng)于是數(shù)列前n項(xiàng)和的形式，可以聯(lián)想到已知求的方法，當(dāng)時(shí)，. （2）把看作一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來(lái)研究的取值情況. 解：（1）已知…）①時(shí)，…）②①－②得，求得，在①中令，可得得，所以N*）. 由題意，所以，∴數(shù)列的公差為，∴，）. （2），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，所以時(shí)， 又，所以，不存在，使得. 例題4. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足：an、bn、an+1成等差數(shù)列，bn、an+bn+1成等比數(shù)列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通項(xiàng)an，bn 解： 依題意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ②∵ an、bn為正數(shù)， 由②得， 代入①并同除以得： ，∴ 為等差數(shù)列∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ， ，∴ ，∴當(dāng)n≥2時(shí)，又a1 = 1，當(dāng)n = 1時(shí)成立， ∴2. 研究前n項(xiàng)和的性質(zhì)例題5. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且. （1）求、的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）時(shí)，.而為等比數(shù)列，得，又，得，.（2）， ） ，得，.例題6. 數(shù)列是首項(xiàng)為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足 ，（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解：（1）由題意：，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為的等差數(shù)列， ∴，∴ 由，得，∴數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為. （2）由（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ∴當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴. 例題7. 已知遞增的等比數(shù)列{}滿足，且是，的等差中項(xiàng). （1）求{}的通項(xiàng)公式；（2）若，求使成立的的最小值. 解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞1），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）∴an=223+…+n3n=0，解得p=2或p=3. （Ⅱ）設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q，p≠q，=an+bn. 為證{}不是等比數(shù)列只需證≠c1
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