【正文】 錄 P0 ? P0 ? 當不關(guān)心鄰域半徑時 , 簡記為 和 . o0( , )UP ?0( , )UP δo0()UP0()UP上一頁 下一頁 目 錄 在討論實際問題中也常使用 方鄰域 , 平面上的方鄰域為 ? ? ( ),(),0 yxδPU ?。問外為，為空間任一有界閉區(qū)域設(shè)PP???上一頁 下一頁 目 錄 思考題解答 有 . 點。則兩點間距上為，點的坐標為設(shè)????????202020000)()()(),(),(zzyyxxPQzyxQzyxP上一頁 下一頁 目 錄 一、 填空題 : 1. 若yxxyyxyxf ta n),(22???, 則 ),( tytxf = ___ _ . 2. 若xyyxyxf2),(22??, 則 ?? )3,2(f ____ ___ ___ 。 則稱 P 為 E 的 邊界點 . 的外點 , 顯然 , E 的內(nèi)點必屬于 E , E 的外點必不屬于 E , E 的 邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E . 上一頁 下一頁 目 錄 x + y = 0 x y 0 如圖 D 如 z = ln (x+y)的定義域 D = {(x, y)| x+y 0} 易見 , 直線上方每一點都是 D的內(nèi)點 . 即 D=D?, 但直線上的點不是 D的內(nèi)點 . 上一頁 下一頁 目 錄 (2) 聚點 若對任意給定的 ? , 點 P 的去心 E鄰域 內(nèi)總有 E 中的點 , 則 稱 P 是 E 的 聚點 . 聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因為聚點可以為 E 的邊界點 ) 上一頁 下一頁 目 錄 (1) 若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為 開集 ； (2) 若點集 E ??E , 則稱 E 為 閉集 ； (3) 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 則稱 D 是 連通集 。 但非區(qū)域 . 1? 1(6)對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點 P?D 與某定點 A 的距離 ?AP?? K , 則稱 D 為 有界域 , 界域 . 否則稱為 無 xyO上一頁 下一頁 目 錄 例如， 在平面上 ? ?0),( ?? yxyx? ?41),( 22 ??? yxyx? ?0),( ?? yxyx? ?41),( 22 ??? yxyx開區(qū)域 閉區(qū)域 ? ? ? ? xyOxy21OxyO xy21O上一頁 下一頁 目 錄 鄰域 , 內(nèi)點 , 邊界點 , 開集 , 連通 , 有界 , 開區(qū)域 , 閉區(qū)域 , 聚點 這 些概念都可毫無困難地推廣到三維空間 R3 中去 , 且有類似的幾何意義 . 它們還可推廣到 4 維以上的空間中去 , 但不再有幾何意義 . 上一頁 下一頁 目 錄 設(shè) D 是 xy 平面上的一個點集 , 即 D ? R2, 若對任意的點 X = (x, y)?D ? R2, 按照某個對應(yīng)規(guī)則 f , 總有唯一確定的實數(shù) z 與之對應(yīng) , 則稱 f 是定義在 D 上的二元實值函數(shù) , 記作 f : D ? R, X = (x, y) ? z . 二、二元函數(shù)的概念 上一頁 下一頁 目 錄 稱 z 為點 X = (x, y) 在 f 下的像 , 記作 f (X) 或 f (x, y), 即 z = f (X ) = f (x, y). 也稱作 X = (x, y)所對應(yīng)的 函數(shù)值 . 稱 D 為函數(shù) f 的 定義域 . D 在 f 下的像集 f (D)={ f (X )| X?D }稱為 f 的 值域 . 習慣上 , 稱 z = f (X ) = f (x, y) 為二元函數(shù) , 另外 , 稱 x, y 為自變量 , z 為因變量 . 比如 z = sinx +cosy , z = 3x2 + ey . 上一頁 下一頁 目 錄 注 1. 一般說來 , 自變量 x , y 都是獨立變化的 . 它們只受到 (x, y) ?D 的限制 . f (x, y) 的表達式 , 算 f (x0, y0) 的方法與一元函數(shù)類似 . 另外 , 若給出了 上一頁 下一頁 目 錄 注 2. 特別 , 若定義域 D 是 x y 面上一條曲線 . D: y = g(x). g 事實上 , x ? D 上的點 (x, g(x)) = (x, y)? z . f = f (x, g(x))成為一元函數(shù) . 則二元函數(shù) z = f (x, y) 上一頁 下一頁 目 錄 注 3. 任何一個一元函數(shù)都可擴充為一個 二元函數(shù) . 事實上 , z = f (x) = f (x) + 0 18