【正文】 k k n knkp q C p q q p??? ? ? ? ??注： 其中推導(dǎo)：設(shè) Ai={ 第 i次 A發(fā)生 }，先設(shè) n=3 57 例： 設(shè)有 80臺同類型設(shè)備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是 ，且一臺設(shè)備的故障能有一個人處理。 49 第二章 隨機變量及其分布 關(guān)鍵詞： 隨機變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 隨機變量的函數(shù) 50 167。 此結(jié)論成立嗎？1.“ 事件 A不發(fā)生，則 A=Ф” ,對嗎？試舉例證明之。42 例：甲、乙兩人同時向一目標(biāo)射擊，甲擊中 率為 ，乙擊中率為 ，求目標(biāo)被 擊中的概率。 B1,B2,?,B n為 S的一個劃分， P(Bi)0， i=1,2,?,n ； 則稱： 12 nA AS AB AB AB? ? ? ? ??? ?1( ) ( | )( | )( ) ( | )iii njjjP B P A BP B AP B P A B???()( | )()iiP B AP B APA?? ?ijAB ABij?與不相容1( ) ( ) ( | )njjjP A P B P A B????為 全概率公式 1( ) ( )njjP A P A B??? ?1( ) ( | )njjjP B P A B????B1 B2 Bn S A 證明： 定理：接上定理條件， 稱此式為 Bayes公式。求該廠產(chǎn) 品的報廢率。 解：將 5為員工看成 5個不同的球， 7天看成 7個不同的盒子， 記 A={ 無 2人在同一天休息 }， 則由上例知： ? ?5755! 3 .7 %7CPA ???27 例 6: (抽簽問題 )一袋中有 a個紅球， b個白球，記 a＋ b＝ n． 設(shè)每次摸到各球的概率相等，每次從袋中摸一球， 不放回地摸 n次。 ()nfA1 0 ( ) 1PA??。 15 ? “和”、“交”關(guān)系式 1211nni i niiA A A A A??? ＝；1211nni i niiA A A A A???? ；AB?AB?A B AB??A B AB??S A B AS A { | }A B A B x x A x B? ? ? ? ?且? , A A S A B SA A A BABAA? ?? ???? ????? ??的 記為 , 逆事件 互若 , 稱 逆、互斥? 例：設(shè) A={ 甲來聽課 }， B={ 乙來聽課 } ，則： {甲、乙至少有一人來 } {甲、乙都來 } {甲、乙都不來 } {甲、乙至少有一人不來 } 16 167。 2 樣本空間 它具有以下特性： 1. 可以在相同條件下重復(fù)進行 2. 事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果 3. 進行試驗前并不知道哪個試驗結(jié)果會發(fā)生 例： ? 拋一枚硬幣，觀察試驗結(jié)果； ? 對某路公交車某?？空镜怯浵萝嚾藬?shù)； ? 對某批電子產(chǎn)品測試其輸入電壓； ? 對聽課人數(shù)進行一次登記； 11 167。? 當(dāng) AB=Φ 時，稱事件 A與 B不相容的，或互斥的。 若 ,? , 兩兩互不相容，則 20 (二 ) 概率 定義 1： 的穩(wěn)定值 p定義為 A的概率，記為 P(A)=p 定義 2：將概率視為測度，且滿足： 稱 P(A)為事件 A的 概率 。 23 例 1：一袋中有 8個球，編號為 1－ 8，其中 1－ 3 號為紅球， 4－ 8號為黃球，設(shè)摸到每一 球的可能性相等，從中隨機摸一球， 記 A={ 摸到紅球 }，求 P(A)． 解： S={1,2,?,8} A={1,2,3} ? ? 38PA??24 例 2：從上例的袋中不放回的摸兩球， 記 A={恰是一紅一黃 }，求 P(A)． 解： 1 1 23 5 815( ) / 5 3 . 6 %28P A C C C? ? ?( ) / , 0 , 1 , ,k n k nk D N D NP A C C C k n????0LmC ?（注：當(dāng) Lm或 L0時，記 ） 例 3：有 N件產(chǎn)品，其中 D件是次品，從中不放 回的取 n件， 記 Ak＝ {恰有 k件次品 }，求 P(Ak)． 解： 25 例 4：將 n個不同的球，投入 N個不同的盒中 (n≤N )，設(shè)每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球數(shù)不限， 記 A＝ { 恰有 n個盒子各有一球 }，求 P(A)． 解： n 1 2 N ① ② …… ② 1 2 N ① ② ① 1 2 N ① ② 1 2 N …… !nNCn?? ( ) ! /nnNP A C n N? ? ?( ) 1 ! / 0. 99 7nnNP A C n N? ? ? ? ? 即當(dāng) n＝ 2時，共有 N2個樣本點；一般地， n個球放入 N個盒子中，總樣本點數(shù)為 Nn，使 A發(fā)生的樣本點數(shù) 可解析為一個 64人的班上，至少有兩人在同一天過生日的概率為%． 若取 n＝ 64， N＝ 365 26 例 5：一單位有 5個員工，一星期共七天， 老板讓每位員工獨立地挑一天休息， 求不出現(xiàn)至少有 2人在同一天休息的 概率。 例如： ( | ) 1 ( | )P B A P B A??( | ) ( | ) ( | ) ( | )P B C A P B A P C A P BC A? ? ?BC? ( | ) ( | )P B A P C A??( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P AB P A P B A P B P A B? ? ? ?( ) ( ) ( | ) ( | )P ABC P A P B A P C AB?1 2 1 2 1 3 1 2 1 1( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?()( | )()P A BP B APA?( ) 0PA ?二、乘法公式 當(dāng)下面的條件概率都有意義時： 32 例：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為 70%，余下 的 30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有 80% 的產(chǎn)品可以出廠， 20%的產(chǎn)品要報廢。 36 定理：設(shè)試驗 E的樣本空間為 S， A為 E的事件。 41 ? 注意： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , , , 1A B A B A B A BP AB P A P BP AB P A AB P A P AB P A P B P A P B?????? ? ? ? ? ? ?????相互獨立 相互獨立 相互獨立 相互獨立當(dāng)時? ? ? ?1212112, , , 2 , , , ,kjnki i i ijnA A A n k nP A A A P AA A A???? ?定義：設(shè) 為 個隨機事件，若對 均有：則稱 相互獨立1 ?兩兩獨立不能 相互獨立2 實際問題中，常常不是用定義去驗證事件的獨立性， 而是由實際情形來判斷其獨立性。 1 1 1 2AnS e A SA B A BA B A B AnfAnP A P SAB P A B P A P BP A P AA B P A P???????? ? ????? ? ? ? ?????? ? ?樣本空間 隨機事件事件的關(guān)系：事件的運算：頻率：概率的定義：滿足當(dāng) 時，概率的性質(zhì)： 當(dāng)時 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?1211 3 = 4. | |, , ,( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) , ( | )( ) ( | )5. nniij j i njjjjBP A B P A P B P ABP ABP B A P AB P A P B APAB B B SP B P A BP A P B P A B P B AP B P A B??? ? ?? ? ?????條件概率： 當(dāng) 為 的一劃分時，事件獨立性46 復(fù)習(xí)思考題 1 ? ? ? ? , , ,3 . , A B A B A B A B A B A BA B A B A B A B A B? ? ? ??設(shè) 和 為兩事件 即“ 至少有一發(fā)生”事件 為“ 恰有一發(fā)生 ”事件與“ 同時發(fā)生 ”事件的和事件。 A,B,C為三隨機事件 ,且 P(C)≠0, 問 P(A∪ B|C)=P(A|C)+P(B|C)－ P(AB|C)是否成立？ 若成立，與概率的加法公式比較之。 54 三個主要的離散型隨機變量 ? 0－ 1(p) 分布 ? 二項分布 X p q 0 1 p 樣本空間中只有兩個樣本點 即每次試驗結(jié)果 互不影響 在相同條件下 重復(fù)進行 (p+q=1) ,AA * n重貝努利試驗：設(shè)試驗 E只有兩個可能的結(jié)果： p(A)=p,0p1,將 E獨立地重復(fù)進行 n次，則稱這一串 重復(fù) 的 獨立 試驗為 n重 貝努利試驗 。 (1)求 Y的概率分布律； (2)求恰好遇到 2次紅燈的概率。 3 隨機變量的分布函數(shù) , , ( ) X x P X x x?隨機變量 對實變量 應(yīng)為 的函數(shù), ( ) ( )XxF x P X x X??隨機變量 對任意實數(shù) 稱函數(shù)為 的概率分布函數(shù)，簡 分義：稱定布函數(shù) 。并求 的值； 若在該區(qū)間上隨機取 10個數(shù)，求 10個數(shù)中恰有 兩個數(shù)大于 0的概率。 2( , )XN ?? ，( 0)PY ?X pi 1 0 1 ( 0) ? ? ?( 1)PY ? ? ?( 1 ) ( 1 )P X X? ? ? ?( 1 ) ( 1 ) 0. 5P X P X? ? ? ? ? ?例如，若要測量一個圓的面積，總是測量其半徑，半徑的 測量值可看作隨機變量 X，若 則 Y服從什么分布？ 例：已知 X具有概率分布 且設(shè) Y=X2，求 Y的概率分布。 13X 1 1 0 p 131323Z 0 1 p 1313Y 2 2 0 p 1313 解： Y的可能取值為 2,0,2 Z的可能取值為 0,1 (Y=2)的等價事件為 (X=1)? (Z=1)的等價事件為 (X=1)∪(X= 1) 故得： 84 例： 2( ) ()YX f x x Y XY f y? ? ?設(shè) 的 概 率 密 度 為 ， ， ，求 的 概 率 密 度()YY F y解 ： 設(shè) 的 概 率 分 布 函 數(shù) 為 0 ( )Yy F y?當(dāng) 時， ()P Y y?? 2()P X y?? ()yy f t d t?? ?00( ) ( )yyf t d t f t d t?????( ) 39。( ) ( ( ) ) 39