【正文】 X 有相同的分布，即 ? ?2,~ ??Nxi。允許誤差的最大值，可通過極限誤差來反映。用公式表示就是： 1lim ???????????????pn (5 .18 ) 4. 充分性。 542 點估計，主要有矩估計法和最大似然估計法。 由于總體參數(shù)通常并不知道，所以，實際總體是否符合表中所列情況，可以用樣本比例來近似判斷?，F(xiàn)對其進(jìn)行 n 次獨(dú)立重復(fù)觀測，得到下列樣本： (X1，X 2，?， X n) ，其中，觀測結(jié)果為“成功”的次數(shù)是N1。 529 ? （二）樣本平均數(shù)的分布規(guī)律 當(dāng)總體 X 服從正態(tài)分布時，根據(jù)正態(tài)分布的再生定理，樣本平均數(shù)服從正態(tài)分布，即2~ ( , )XXN ?? 。 （三）中心極限定理 523 2 . 樣本比例的中心極限定理 從任一總體比例為 ? 、方差為)( ?? ?1 的（ 0 ， 1 ）分布總體中，抽取容量為 n 的樣本，其樣本比例 P 的分布會隨著 n 的增大而趨近于平均數(shù)為? ，標(biāo)準(zhǔn)差為p? 的正態(tài)分布。但是，對總體的大量觀察后進(jìn)行平均，就能使偶然因素的影響相互抵消，消除由個別偶然因素引起的極端性影響，從而使總體平均數(shù)穩(wěn)定下來，反映出事物變化的一般規(guī)律。 （ 2 ） 給出統(tǒng)計量 X 的分布、數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差。不放回抽樣，如果考慮順序，其樣本可能個數(shù)為)!(!nNN?；如果不考慮順序，其樣本可能個數(shù)為!)!(!nnNN?。第二，每次試驗是獨(dú)立的，即其試驗的結(jié)果與前次、后次的結(jié)果無關(guān)。 59 顯然，（ 1 ）和（ 2 ）的抽取行為都不是隨機(jī)試驗。樣本統(tǒng)計量是樣本的一個函數(shù)。 一般地，樣本單位數(shù)大于 30個的樣本稱為 大樣本 ，不超過 30個的樣本稱為 小樣本 。 55 （二）總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量 。 常見的樣本統(tǒng)計量有： 樣本平均數(shù)，樣本比例， 樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差 。總體的分布可用表 5 1 的分布列來描述，而（ 3 ）的隨機(jī)試驗中所觀測的隨機(jī)變量也有與表 5 1 有相同的分布。 511 不放回抽樣 的具體做法是： 每次從總體抽取一個單位，記錄其標(biāo)志值后不放回原總體，不參加下一輪抽樣。 抽樣分布可能是精確地服從某種已知分布（所謂已知分布，例如我們在第四章介紹過的各種常見分布），也可能是以某種已知分布為極限分布。 ( 2) 用表 5 3 中各樣本配合方式的樣本均值（括號中數(shù)字）數(shù)據(jù)作成分布數(shù)列（表 5 4 ）便描述了樣本平均數(shù)這個統(tǒng)計量的分布。但是在客觀實際中，總體并非都是正態(tài)分布。 解： ( 1 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 0 ) / 1 0 = 5 . 5? ?? 2 2 2( 1 5 . 5 ) ( 2 5 . 5 ) ( 1 0 5 . 5 ) / 1 0 2 . 8 7 2 2 8? ??? ? ? ? ? ? ??? E ( X ) 5 . 5??? 2 . 8 7 2 2 8 / 2 2 . 0 3 1 0xn?? ? ? ? 528 在不放回抽樣的情況下，數(shù)學(xué)上可以證明，其 樣本平均數(shù)的期望值同樣等于總體的期望值。通常將樣本單位數(shù)不少于 30 的稱為大樣本。利用這一結(jié)果與期望值的計算規(guī)則，可得： ? ?1N nE P Enn????? ? ????? （ ） ? ?? ?22( 1 ) ( 1 )11VNN nV P Vn n n n? ? ? ?????? ? ? ????? （ ） 534 在不放回抽樣條件下，有關(guān)結(jié)論與樣本平均數(shù)相類似，即 ()EP ?? ( 5 . 1 4 ) ( 1 )1pNnnN????? ???????? ( 5 . 1 5 ) 當(dāng) N 很大，而抽樣比 %5/ ?Nn 時，其修正系數(shù) ????????1NnN趨于1 ，這時樣本比例的方差也可不必修正，可直接用（ ）式來計算。 解： ?2?22)1(?sn ?=223 5 ( 0 .0 1 2 )5 0 .40 .0 1? 利用 E xc e l C H I D I S T 函數(shù)，可方便地求得這一概率。 （二）點估計 543 ? （三）估計量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn) 1 ．無偏性。 即以?1? 和?2? 分別作為總體參數(shù) ?區(qū)間估計的下限與上限，同時要求該區(qū)間將 θ 包含在內(nèi)的 概率應(yīng)達(dá)到一定的程度。 547 所謂可靠性是指估計結(jié)果正確的概率保證，可用 置信度來反映。為了進(jìn)行區(qū)間估計，首先，把 X 標(biāo)準(zhǔn)化 Z =xX ??? ( 5 . 2 1 ) 顯然， Z 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量（見圖 5 1 ）。 555 ? （二）總體方差 σ2未知的情形 1. 點 估計 11?niiXXn???? ? ( 5 . 25 ) 556 由于總體方差 σ2未知，因此，需要用總體方差的無偏估計量 S 2來代替 σ2。試求該區(qū)（按戶計算的）等離子電視機(jī)擁有率的 置信區(qū)間。 解：2 ( 9 )0 . 9 53 . 3 3? ? ，2 ( 9 )0 . 0 51 6 . 9 2? ? ，置信度為 的置信區(qū)間為： ? ? ? ?2211222 1 2( 1 ) ( 1 ),nnn S n S?????????????????=9 9 . 2 9 9 . 2, (5 . 2 8 , 2 6 . 8 1 )1 6 . 9 2 3 . 3 3????????? 566 第四節(jié) 樣本容量的確定 ? 一 、 問題的提出 ? 二 、 估計總體均值時樣本容量的確定 ? 三 、 估計總體比例時樣本容量的確定 ? 四 、 使用上述公式應(yīng)注意的問題 567 由前面的論述 ， 我們已知參數(shù)估計中的精度要求與可靠性要求常常是一對矛盾 ， 但是 ， 通過增加樣本容量 n有可能降低樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差 ， 從而實現(xiàn)既保證一定的估計精度 ， 又具有較高的置信度的目的 。 571 三、估計總體比例時樣本容量的確定 （一）放回抽樣 ? ?2221PPPzn???? (5. 36) （二）不放回抽樣 ? ?? ?PPzNPPNznP????1122222??? (5 .37 ) 572 四、使用上述公式應(yīng)注意的問題 1．計算樣本容量時，總體的方差與成數(shù)常常是未知的，這時可用有關(guān)資料替代：一是用歷史資料已有的方差與成數(shù)代替；二是在進(jìn)行正式抽樣調(diào)查前進(jìn)行幾次試驗性調(diào)查，用試驗中方差的最大值代替總體方差；三是比例方差在完全缺乏資料的情況下，就用比例方差的最大可能值 。 576 【例 5 8 】 對某型號電池進(jìn)行電流強(qiáng)度檢驗，根據(jù)以往正常生產(chǎn)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，已知電流強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差 σ =0 . 4 安培，合格率 P =90 % 。 579 2．定義變量名。 4 ．樣本統(tǒng)計量的概率分布叫做