【正文】 F k k N? ? ?? )3 1 1( ) , ( 3 3 ) , ( 3 3 ) 0 , 1 , 2 .2 4 4F k i i k??? ? ? ?????取 N=2, 將序列 和 按長度為 3補(bǔ)零 1()fn 2 ( )fn解 利用本例驗(yàn)算離散 Fourier變換的卷積公式 .運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . f1=[1,0]。N i k m nNk eN?? ?? ?? 2 ()21() 2()011i N m nN Ni k m nN i m nk Neee????? ???????2 ()1 c o s( 2 ( ) ) sin ( 2 ( ) ) i m nNm n i m ne ????? ? ? ????所以根據(jù) 離散 Fourier變換和離散 Fourier逆變換的定義 , 對(duì) 0 ,1, 2 , , 1nN??記 則離散 Fourier變換及逆變換分別 2 ,iNWe???簡化為 ? )10( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 1 。F=fourier(f)F =pi*Dirac(w6)+2*pi*Dirac(w)pi*Dirac(w+6)利用 , 可得 例 和 0[cos ]t?F 0[sin ].t?F解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symst w a % 輸入 a代替 w_0,否則發(fā)生混淆 ,出現(xiàn)錯(cuò)誤 f=cos(a*t)。Dirac(t+t_0)39。)。symsbeta positive。0, 1.???? ??? ????212 ( )2 p???? o ? 11?? ()F ?. . . 寬度為 2 幅度為 ? 的矩形脈沖函數(shù) (3) 相似性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 1[ ( ) ] f at Faa????????F (其中 為常數(shù) ). 0a?證明 由 Fourier變換的定義 , [ ( ) ] ( ) d .itf at f at e t??? ???? ?F令 則 于是當(dāng) a0時(shí) , ,x at? 1d d .txa?11[ ( ) ] ( ) d 。Heaviside(t+tau/2)39。symsbeta positive g=sym(39。F=fourier(f)F = (pi/b^2)^(1/2)*exp(1/4*w^2/b^2) r=simple(F) % 化簡r =1/b*pi^(1/2)*exp(1/4*w^2/b^2)注 首先使用命令 syms來定義基本符號(hào)對(duì)象 , 否則O x f (x) 1 實(shí)軸 A B C D ?R R O 虛軸 22b?因?yàn)? 在全平面 22bze?處處解析 , 所以取圖中的 路徑 ABCDA時(shí)，根據(jù) 定理 ( Cau chy 積分定理 ) 設(shè) f ( z ) 是單連D C 說明 : 該定理的主要部分是Cau chy 于 1825 年建立的 , 它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ) .通區(qū)域 D 上的解析函數(shù)，則對(duì) D 內(nèi)的任何可求長 Jo rdan 曲線 C , 都有 ( ) d 0 .C f z z ??2 2 2 2ddR b x b zR BCe x e z? ??? ???222222 d d 0 .b x iR bzbR D Ae x e z????? ???????? ? ???下面計(jì)算 22222222d lim d .b x i b x iRbbRRe x e x??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ????2 2 2 22 ()20ddb z b R iybBCe z e y?? ? ????2 2 22 ( 2 )20db R Riy yb ey?? ? ?? ?同理可證 22 d 0 ( ) .bzDA e z R? ? ? ? ??2 2 2 2220 d 0 .b R b ybe e y?????當(dāng) R?+?時(shí)， 因此 , 當(dāng) R?+?時(shí)， 222222lim d lim db x iRR bxbRRe x e x????? ?????????? ?? ? ?????2 2 21d d ,b x te x e tbb??? ?????? ??? ? ???于是 22 4[ ( ) ] .bf x eb?? ??FO ? F(?) b?例 求 , 0( ) ( 0 ) 0, t 0tetft???? ??????的 Fourier變換 . 0[ ( ) ] dt i tf t e e t???? ??? ?F()0i?????? ?????? t f (t) o 1 根據(jù) Fourier變換的定義 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symst w。symstaupositive g=sym(39。F=fourier(f)F =1/2*pi*(Heaviside(w+1)Heaviside(w1))1/2*pi*(Heaviside(w1)Heaviside(w+1)) r=simple(F) r =pi*Heaviside(w1)+pi*Heaviside(w+1)例 求矩形脈沖函數(shù) (E0) , 2() 0, t2Etpt???? ??? ?? ???的頻譜 . 2( ) si n .2EF ??? ??1( ) 2 sin .2FE ??? ??解21 sin( ) ,2 pt???? ?????F其中 是寬度為 2, 幅度為的 矩形脈沖函數(shù) , 21 ()2 pt 12它是偶函數(shù) . 由 Fourier變換的 , (2) 對(duì)稱性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則[ ( ) ] 2 ( ) .F t f????F證明 由 Fo urier 逆變換有 1( ) ( ) d .2 itf t F e ???? ????? ?于是 1( ) ( ) d .2 itf t F e ???? ?? ????? ?將 t與 ?互換 , 則 1( ) ( ) d ,2 itf F t e t?? ? ?? ????? ?所以 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f????F特別地 , 若 f (t)是偶函數(shù) , 則 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f???Fsin[ ( ) ] tftt???????FF, 1 。fourier(diff(y,t,5))ans =i*w^5*fourier(f(t),t,w)上面是關(guān)于時(shí)域的微分性質(zhì) . 類似地也有關(guān)于 頻域的微分性質(zhì) : 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F并且 在 ()()nF ? ( , )?? ??上存在 (n為正整數(shù) ). 如果當(dāng) 時(shí) , ? ? ??() ( ) 0 ( 0 , 1 , 2 , , 1 ) ,kF k n? ? ? ?則 1 ( ) ( ) ( ) .n n ni F t f t?? ?? ???F從而可知 ()( ) ( ) .n n nt f t i F ??? ???F例 設(shè) 求 , 0( ) ( 0 ) , 0, t 0tte tft???? ?????? [ ( )].ftF令 于是由 可知 , 0( ) , 0, t 0tetgt??? ?? ???解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symst w。Heaviside(t)39。))ans=1/2/pi[ ( ) ] ( ) d 1 ,itt t e t?dd ?? ??????F1 11[ ( ) ] ( ) d .22ite ?d ? d ? ???????????F通常 , 沒有意義 . 然而由 [1]F 1 1[ ( ) ] ,2d? ?? ?F在廣義函數(shù)意義下 , [ 1 ] 2 ( ) .? d ??F因?yàn)?d (x)是 d 逼近函數(shù) 的弱極限 , 所以由 ()x??例 求矩形脈沖函數(shù) (E0) , 2() 0, t2Etpt???? ??? ?? ???的頻譜 . 2( ) si n .2EF ??? ??1( ) 2 sin .2FE ??? ??解, 也可以理解為 [ ( )]xdF0[ ( ) ] lim [ ( ) ]xx ??d? ???FF(1) d 函數(shù) Fourier變換的時(shí)移和頻移性質(zhì) 00[ ( ) ] [ ( ) ] ,itt t e t?dd ???FF0 0[ 1 ] 2 ( ) .ite ? ? d ? ????F0s inlim 1 .?????????證明 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . syms t w t_0 f=sym(39。 F=fourier(f)F =pi*Dirac(aw)+pi*Dirac(a+w) r=simple(F) r =pi*(Dirac(aw)+Dirac(a+w))根據(jù) d 函數(shù) Fourier變換的 , 可得 (1 ) d 函數(shù) Fourier 變換的時(shí)移和 頻移性質(zhì)00[ ( ) ] [ ( ) ] ,itt t e t?dd ???FF0 0[ 1 ] 2 ( ) .ite ? ? d ? ????F00011[ c o s ]22i t i tt e e??? ?? ? ? ??? ? ? ? ?F F F00( ) ( ) ,? d ? ? d ? ?? ? ? ?????00011[ s in ]22i t i tt e eii??? ?? ? ? ??? ? ? ? ?F F F00( ) ( ) .i? d ? ? d ? ?? ? ? ?????例 計(jì)算 22 s in 3 .t????F解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symst w f=2*(sin(3*t))^2。 離散 Fourier變換 1 離散 Fourier變換及其性質(zhì) 2 快速 Fourier變換 離散 Fourier變換及其性質(zhì) 定義 設(shè) 是長度為 N ( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??的序列，稱序列 ? )210( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 1N i nkNnF k f n e k N?? ??? ? ??為 f (n)的 離散 Fourier變換 , 記做 即 ? ?D F T ( ) ,fn? ?( ) D F T ( )F k f n?? )210( ) 0 , 1 , 2 , , 1 .N i nkNnf n e k N?? ??? ? ??稱序列 ? )2101 ( ) 0 , 1 , 2 , , 1N i nkNkF k e n NN??????為 F(k)的 離散 Fourier逆變換 , 記做 ? ?ID F T ( ) .Fk? ? ? )( ) I D F T D F T ( ) 0 , 1 , 2 , , 1 .f n f n n N??? ? ???離散 Fourier變換的反演公式 (證明 )當(dāng) m=n時(shí) , 當(dāng) m?n時(shí) , 21 ()0 。 Wnk=WN.^nk。 WN=exp(i*2*pi/3