20xx屆江西省南昌市第十中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)(理)試題(含解析)(更新版)
【正文】 在定直線上的證明，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.21．已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）變形為，引入新函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，極值等性質(zhì)得直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也即所求零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（2）由（1），不妨設(shè)，于是，構(gòu)造函數(shù)，得在上遞減，在上遞增，因此要證經(jīng)，只要證，而，因此只要證，利用零點(diǎn)的定義，可化為的函數(shù)，再引入函數(shù)設(shè)（），由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，證得，即證得結(jié)論．【詳解】（1）由得，設(shè)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．，當(dāng)時(shí)，遞增，時(shí)，遞減，所以，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，無零點(diǎn)，或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）函數(shù)的零點(diǎn)，即直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．由（1），不妨設(shè)，因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，所以在上遞減，在上遞增，要證，只要證，又，即要證，又，所以，設(shè)（），時(shí)，即在上遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，證明與零點(diǎn)有關(guān)的不等式．零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，研究出函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)論．證明與零點(diǎn)有關(guān)的不等式，關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化，如通過不妨設(shè)，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)后，要證的不等式轉(zhuǎn)化為只要證，需由零點(diǎn)的定義轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后再證明新函數(shù)的單調(diào)性證得相應(yīng)不等式成立即可．22．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程，并求出直線l與曲線C的交點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)；（2）設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用公式即可求得曲線的極坐標(biāo)方程；聯(lián)立直線和曲線的極坐標(biāo)方程，即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)形式，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問題即可求得.【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程： 聯(lián)立，得，又因?yàn)槎紳M足兩方程，故兩曲線的交點(diǎn)為，.（2）易知，直線. 設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離（其中）. 面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化，涉及利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最值問題，屬綜合中檔題.23．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若的值域?yàn)椋C明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）在，三種情況下，分別解不等式，最后取并集即可；（2），結(jié)合的值域?yàn)?，可知．因此有，從而證明出題設(shè)不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)不等式無解；當(dāng)時(shí)，不等式化為，故；當(dāng)時(shí)，不等式化為，故．綜上可知，不等式的解集為．（2），當(dāng)且僅當(dāng)與異號時(shí)，取得最小值，∵的值域?yàn)?，且，故．∴（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），∴．又∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值不等式的解法，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.22
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