【正文】 判定和性質(zhì)．平行平面間的距離．二面角及其平面角．兩個平面垂直的判定和性質(zhì)．多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球．考試要求：（1）掌握平面的基本性質(zhì)。會畫正棱錐的直觀圖．（11）、體積公式．立體幾何 知識要點一、 平面.1. 經(jīng)過不在同一條直線上的三點確定一個面.注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內(nèi).2. 兩個平面可將平面分成3或4部分.（①兩個平面平行，②兩個平面相交）3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（①三條直線在一個平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個平面內(nèi)平行）[注]：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有0或1個.4. 三個平面最多可把空間分成 8 部分.（X、Y、Z三個方向）二、 空間直線.1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線—共面有反且有一個公共點；平行直線—共面沒有公共點；異面直線—不同在任一平面內(nèi)[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（）（可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（）（并非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段）⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.2. 異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4. 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如下圖）. 二面角的取值范圍）（直線與直線所成角） （斜線與平面成角）（直線與平面所成角）（向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.5. 兩異面直線的距離：公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.是異面直線，則過外一點P，過點P且與都平行平面有一個或沒有，但與距離相等的點在同一平面內(nèi). （或在這個做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）三、 直線與平面平行、直線與平面垂直.1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）[注]：①直線與平面內(nèi)一條直線平行，則∥. （）（平面外一條直線）②直線與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交. （）（平面外一條直線）③若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無數(shù)條直線與平行. （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面. （）（可能在此平面內(nèi)）⑤平行于同一直線的兩個平面平行.（）（兩個平面可能相交）⑥平行于同一個平面的兩直線平行.（）（兩直線可能相交或者異面）⑦直線與平面、所成角相等，則∥.（）（、可能相交）3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直. l 若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），得不出⊥. 因為⊥，但不垂直O(jiān)A.l 三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.[注]：①垂直于同一平面的兩個平面平行.（）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個平面平行）②垂直于同一直線的兩個平面平行.（√）（一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面）③垂直于同一平面的兩條直線平行.（√）5. ⑴垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.[注]：垂線在平面的射影為一個點. [一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（）]⑵射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上四、 平面平行與平面垂直.1. 空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.3. 兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）4. 兩個平面垂直性質(zhì)判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）注：如果兩個二面角的平面對應(yīng)平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.5. 兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因為則. 6. 兩異面直線任意兩點間的距離公式：（為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有）7. ⑴最小角定理：（為最小角，如圖）⑵最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有. 五、 棱錐、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱側(cè)面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.②斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.⑵{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.⑶棱柱具有的性質(zhì)：①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. （）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.⑷平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點.定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則.推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則.[注]：①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形）②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）2. 棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.[注]：①一個棱錐可以四各面都為直角三角形.②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以.⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心.[注]：i. 正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長為，斜高為）③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）附： 以知⊥，為二面角. 則①，②，③ ①②③得.注：S為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法）.⑵棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.⑶特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；⑧每個四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.[注]：i. 各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（）（各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直. 簡證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令得，已知則.iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形.iv. 若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形.簡證：取AC中點，則平面90176。；③………　5分 （2）設(shè)的中點為，則，又，則，為平行四邊形， ………　7分，又平面，平面，平面。⑵若，求.（結(jié)果用根式表示）15.【解析】（1）由條件，得.所以因為是三角形內(nèi)角，所以（2）由得由正弦定理得因為所以16. （蘇州市2011屆高三調(diào)研測試）（本小題滿分14分）正三棱柱中，已知,為的中點，為與的交點.⑴求證：平面。? 所以 ………………5分得到 ………………11分所以當AB為時，二面角A—EF—C的大小為45176。 ⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。⑷關(guān)于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質(zhì)外，還須掌握由其定義導(dǎo)出的一些其特有的性質(zhì)，如長方體的對角線長定理是一個重要定理并能很好地掌握和應(yīng)用。（線面角）。２．三種空間角，即異面直線所成角、直線與平面所成角。例5．如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，AC與BD交于點E，CB與CB1交于點F.（I）求證：A1C⊥平BDC1；（II）求二面角B—EF—C的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.解法一：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，則AC是A1C在底面ABCD的射影.∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,∴A1C⊥平面BDC1.（Ⅱ）取EF的中點H，連結(jié)BH、CH，又E、F分別是AC、B1C的中點，解法二：（Ⅰ）以點C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(0,0,0).D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)（Ⅱ）同（I）可證，BD1⊥平面AB1C.立體幾何過關(guān)測試1．如果直線與平面a的一條垂線垂直，那么與a的位置關(guān)系是 。參考答案在平面a內(nèi)或者∥a 3個 ⑴、⑷ 證明：（1）連結(jié)，設(shè) 連結(jié)，　 是正方體，是平行四邊形． 且 ． 又分別是的中點，且． 是平行四邊形 ． 面，面 面 （2）面 ．又， ， ．同理可證， 又，面 ．（1）將其補成正方體ABCDA1B1C1D1，設(shè)B1D1和A1C1交于點O1，連接O1B，依題意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四邊形D1OB O1為平行四邊形， 則D1O∥O1B，因為BO1平面BA1C1，D1O平面BA1C1，所以有直線D1O∥平面BA1C1； （2）在正方體ABCDA1B