【正文】 即二面角α－ a－β =90176。≤θ≤ 90176。 D． 30176。 ] D． [60176。的兩條直線與一個平面α所成的角都是 45176。 D 是 BC 的中點， AC＝ 2， DE⊥平面 ABC， 且 DE＝ 1，則點 E 到斜邊 AC 的距離是 （ ） A． 25 B． 211 C． 27 D． 419 7． 如圖， PA⊥矩形 ABCD，下列結論中不正確的是（ ） A． PB⊥ BC B． PD⊥ CD C． PD⊥ BD D． PA⊥ BD 8． 如果α∥β， AB 和 AC 是夾在平面α與β之間的 兩條線段， AB⊥ AC，且 AB＝ 2，直線 AB 與平面 α所成的角為 30176?！唷?ACD 是正三角形， AM= 3 . 在 Rt△ BCM 中， BC= 7 ， CM=1， 6??BM . .362c o s 222 ?? ????? BMAB AMBMABA B M 17． (12 分 ) 證：連 AC，設 AC 中點為 O，連 OF、 OE （ 1）在△ PAC 中，∵ F、 O 分別為 PC、 AC 的中點 ∴ FO∥ PA ????① 在△ ABC 中， ∵ E、 O 分別為 AB、 AC 的中點 ∴ EO∥ BC ,又 ∵ BC∥ AD ∴ EO∥ AD ????② 綜合①、②可知：平面 EFO∥平面 PAD ∵ EF ? 平面 EFO ∴ EF∥平面 PAD． （ 2）在矩形 ABCD 中，∵ EO∥ BC， BC⊥ CD ∴ EO⊥ CD 又 ∵ FO∥ PA， PA⊥平面 AC ∴ FO⊥平面 AC ∴ EO 為 EF 在平面 AC 內(nèi)的射影 ∴ CD⊥ EF． （ 3）若 ?PDA＝ 45?，則 PA＝ AD＝ BC ∵ EO ∥＝ 12 BC， FO ∥＝ 12 PA ∴ FO＝ EO 又 ∵ FO⊥平面 AC ∴ △ FOE 是直角三角形 ∴ ?FEO＝ 45?． 18．（ 12 分） 證明：假設 H 是 VBC? 的垂心 連結 BH 并延長與 VC 相交 ∵ ?AH 平面 VBC ∴ BH 是 AB 在平面 VBC 內(nèi)的射影 又∵ VCBH? ∴ VCAB? 又∵ ?VA 平面 ABC ∴ AC 是 VC 在平面 ABC 內(nèi)的射影 ∴ ACAB? 這與 ??? 75BAC 矛盾 ∴ H 不可能是 VBC? 的垂心 19．（ 14 分）解：（ 1）∵ PA⊥平面 ABC ∴ PA⊥ BC ∵ AB 是⊙ O 的直徑， C 為圓上一點∴ BC⊥ AC ∴ BC⊥平面 PAC （ 2）過 A作 AD⊥ PC于 D∵ BC⊥平面 PAC， BC? 平面 PBC ∴ PAC⊥ PBC， PC 為交線 ∴ AD⊥平面 PBC ∴ AD 即為 A到平面 PBC 的距離 . 依題意，∠ PBA為 PB 與面 ABC 所成角，即∠ PBA＝ 45176。小于等于 135176。 （ 4）11111 2 EDAFVEDAFAA ??? 的體積，求三棱錐設． FEBD A39。 ,即直線 AE與 D1F所成角為直角 . （ 3）由 (Ⅰ )知 AD⊥ D1F,由 (Ⅱ )知 AE⊥ D1F,又 AD∩ AE=A,所以 D1F⊥面 D1F? 面 A1FD1， 所以面 AED⊥面 A1FD1. （ 4）連結 GE， GD1. ∵ FG∥ A1D1,∴ FG∥面 A1ED1， ∵ AA1=2,面積 S△ A1GE=S□ ABB1A1－ 2S△ A1AG－ S△ GBE=23 又GEAFG F DAEEDAF VVV 11111 21 ??? ?? FGSGEA ?? 131 12233111 ????? ? EDAFV 解法二 ：利用用向量求解 解析：設正方體的棱長為 2，以 D 為原點， DA 為 x 軸， DC 為 y 軸， DD1為 z 軸建立空間直角坐標系， 則 D（ 0， 0， 0）， A（ 2， 0， 0）， F（ 0， 1， 0）， E（ 2， 2， 1）， A1（ 2， 0， 2）， D1（ 0， 0， 2）， （ 1） ∵ )0,0,2(?DA , )2,1,0(1 ??FD ，得 ?DA 01 ?FD ，∴ AD⊥ D1F。 （ 2）若二面角 ??AC??為 60?（如圖三），求三棱錐 D? ?ABC的體積． 19．（本小題滿分 14分）如圖，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， AB= 2 ， AF=1， M 是線段 EF的中點． （ 1）求證 AM//平面 BDE； （ 2） 求二面角 A?DF?B 的大小； （ 3） 試在線段 AC 上確定一點 P，使得 PF 與 BC 所成的角是 60?． 20． （本題滿分 14 分）如圖，正方形 ABCD 、 ABEF 的邊長都是 1，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直．點 M 在 AC上移動，點 N 在 BF 上移動，若 aBNCM ?? )20( ??a ． （ 1）求 MN 的長； （ 2）當 a 為何值時， MN 的長最小； （ 3）當 MN 長最小時，求面 MNA 與面 MNB 所成的二面角 ? 的大小． 參考答案 一．選擇題（本大題共 10小題，每小題 5分，共 50分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A B C A A D D 二．填空題（本大題共 4小題，每小題 6分，共 24 分） 11． 750 ,150 12． 900 ,300 13． 35 14． ?32 三、解答題（ 本大題共 6題，共 76分） 15． (12 分 ) （ 1）證明：（ 1）∵ SB=BC E 是 SC的中點 ∴ BE⊥ SC ∵ DE⊥ SC∴ SC⊥面 BDE （ 2）解：由（ 1） SC⊥BD∵SA⊥面 ABC∴SA⊥BD∴BD⊥面 SAC∴∠EDC 為二面角 EBDC 的平面角 設 SA=AB=a,則 SB=BC= a2 ． ,2, aSCS B CRt ??? 中在 ,30, 0???? D C ES A CRt 中在 060, ???? ED CD ECRt 中在 ． 16． (12 分 ) (1) 證： MNCCP M NCCPNCCPMCCBBCC ??????? 111111 ,// 平面? ； (2) 解：在斜三棱柱 111 CBAABC? 中，有 ?c o s21111111111 222 AA C CBB C CAA C CBB C CAABB SSSSS ????， 其中 ? 為 平面 BBCC11 與平面 AACC11 所組成的二面角 ． ?? ,1 PMNCC 平面? 上 述 的 二 面 角 為 MNP? , 在 PMN? 中， c o s2222 ?????? M N PMNPNMNPNPM M N PCCMNCCPNCCMNCCPNCCPM ??????? c o s)()(2 11111 222222 ， 由于 1111 11111 , BBPMSCCMNSCCPNS AABBAA C CBB C C ??????， ?有 ?c o s21111111111 222 AA C CBB C CAA C CBB C CAABB SSSSS ????． 17． (12 分 ) （ 1）證法一：如，∵底面 ABCD 是正方形， ∴ BC⊥ DC． ∵ SD⊥底面 ABCD，∴ DC 是 SC在平面 ABCD上的射影， 由三垂線定理得 BC⊥ SC． 證法二：如圖 1，∵底面 ABCD 是正方形， ∴ BC⊥ DC． ∵ SD⊥底面 ABCD， ∴ SD⊥ BC，又 DC∩ SD=D，∴ BC⊥平面 SDC，∴ BC⊥ SC． （ 2）解：如圖 2，過點 S 作直線 ,//ADl l? 在面 ASD 上， ∵底面 ABCD 為正方形， lBCADl ?? ,//// 在面 BSC上， l? 為面 ASD 與面 BSC的交線 ． l? , SClSDlSCBCADSD ?????? ∴∠ CSD 為面 ASD與面 BSC所成二面角的平面角 ． （以下同 解法一） （ 3）解 1：如圖 2，∵ SD=AD=1，∠ SDA=90176。 （ 3） 由題意： )0,0,2(11 ?AD ， 設平面 AED 的法向量為 )1,( 111 yxn ? ，設平面 A1FD1的法向量為 )1,( 222 yxn ? ， A BDA 1D 1B 1C 1CMEFH 由?????????0011nAEnDA ?????????21011yx )1,21,0(1 ??? n 由?????????0021121nADnFD ??? ??? 2022yx )1,2,0(2 ??n 得|||||||cos|2121 nn nn ???? 0|||| |110|21?? ??? nn ∴ 面 AED⊥面 A1FD1. （ 4）∵ AA1=2， )1,1,2( ????EF ， 平面 A1FD1的法向量為 )1,2,0(2 ?n FDDAS FDA 1112111 ??? 5? ， ∴ E到平面 A1FD1的距離 || ||22n nEFd ?? 53? ， 15533111 ????? ? EDAFV ． 空間角和距離 一、選擇題 （本大題共 10個小題，每小題 5 分，共 50 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．直線 m 與平面 ? 間距離為 d，那么到 m 與 ? 距離都等于 2d 的點的集合是 （ ） A．一個 平面 B．一條直線 C．兩條直線 D．空集 2． 異面直線 a、 b 所成的角為 ?， a、 b 與平面 ?都平行， b?平面 ?，則直線 a 與平面 ?所成的角 （ ） A．與 ?相等 B．與 ?互余 C．與 ?互補 D．與 ?不能相等． 3．在正方體 ABCD— A?B?C?D?中， BC?與截面 BB?D?D 所成的角為 （ ） A． 3? B． 4? C． 6? D． arctan2 4． 在正方形 SG1G2G3中， E， F 分別是 G1G2 及 G2G3的中點， D 是 EF 的中點，現(xiàn)在沿 SE， SF 及 EF 把這個正方形折成一個四面體，使 G1， G2 ， G3 三點重合，重合后的點記為 G，那么，在四面體 S－ EFG 中必有 （ ） A． SG⊥△ EFG 所在平面 B． SD⊥△ EFG 所在平面 C． GF⊥△ SEF 所在平面 D． GD⊥△ SEF 所在平面 5． 有一山坡，它的傾斜角為 30176。39。小于等于 150176。 tanθ =2 2 tanθ ,∵ AN⊥平面 PBC， MN? 平面 PBC.∴ AN⊥ MN ∵ AN= ?? 22222 t a n88t a n8)22( ????? MNAM 41)21( t a n4t a n22t a n1222121 222 ???????????? ???MNANS A MN? ∴當 tan2θ =21 ,即 tanθ = 22 時， S△ AMN有最大值為 2， ∴當 tanθ = 22 時， S△ AMN 面積最大，最大值為 2． 平面和平面的位置關系 一、 選擇題： 本大題共 12 個小題，每小題 5分，共 50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．下列命題中正確的是 （ ） A．垂直于同一平面的兩平面平行 B．垂直于同一直線的兩平面平行 C．與一直線成等角的兩平面平行 D． Rt?ABC 在平面 ?的射影仍是一個直角，則 ?ABC 所在平面與平面 ?平行 2． ABCD 是一個四面體，在四個面中最多有幾個是直角三角形