湘教版高中數學必修373圓與方程(完整版)
【正文】 定值 )0( ?aa ，求 P 點的軌跡 . 解： 設動點 P 的坐標為 ),( yxP .由 )0( ?? aaPBPA，得 aycxycx ?????2222)()( ， 化簡得 0)1()1(2)1()1( 2222222 ???????? acxacyaxa . 當 1?a 時，化簡得 01 )1(2 22 222 ?????? cxa acyx，整理得 222222 )12()11( ?????? a acyca ax ； 當 1?a 時，化簡得 0?x . 所以當 1?a 時， P 點的軌跡是以 )0,11(22 ca a?? 為圓心，122?aac為半徑的圓； 當 1?a 時， P 點的軌跡是 y 軸 . 問題導學 七：圓中動點的變化，帶來求其 軌跡方程的方法是什么？ 例 基礎訓練： 已知線段 AB 的端點 B 的坐標是（ 4， 3），端點 A 在圓 4)1( 22 ??? yx 上運動，求線段 AB 的中點 M 的軌跡方程 . 探究 1： 已知定點 )0,3(B ，點 A 在圓 122 ??yx 上運動， M 是線段 AB 上的一點，且MBAM 31? ，則點 M 的軌跡方程是 解 ： 設 ),(),( 11 yxAyxM .∵ MBAM 31? ，∴ ),3(31),(11 yxyyxx ?????， ∴?????????????yyyxxx31)3(3111 ，∴??????????yyxx3413411 .∵點 A 在圓122 ??yx 上運動，∴ 12121 ??yx ，∴ 1)34()134( 22 ??? yx ，即 169)43( 22 ??? yx ， ∴ 點 M 的 軌 跡 方 程 是 169)43( 22 ??? yx. 探究 2： 已知定點 )0,3(B ，點 A 在圓 122 ??yx 上運動， AOB? 的平分線交 AB 于 點 M ，則點 M 的軌跡方程是 . 解： 設 ),(),( 11 yxAyxM .∵ OM 是 AOB? 的平分線，∴31?? OBOAMBAM， ∴ MBAM31?.由變式 1可得點 M 的軌跡方程是169)43( 22 ??? yx. 練習鞏固 ： 已知直線 1??kxy 與圓 422 ??yx 相交于 A 、 B 兩點，以 OA 、 OB 為鄰邊作平行四邊形 OAPB ，求點 P 的軌跡方程 . 解： 設 ),( yxP ， AB 的中點為 M .∵ OAPB 是平行四邊形，∴ M 是 OP 的中點，∴點 M的坐標為 )2,2( yx ，且 ABOM? .∵直線 1??kxy 經過定點 )1,0(C ，∴ CMOM? ，∴0)12(2)2()12,2()2,2( 2 ???????? yyxyxyxCMOM ，化簡得 1)1( 22 ??? yx .∴點 P 的軌跡方程是 1)1( 22 ??? yx . 問題導學 八：實際生 活中我們又該如何利用所學的圓知識進行“數學化”，來解決問題？ 例 基礎訓練： 某圓拱橋的水面跨度 20m ，拱高 4m .現有一 船寬 10m ，水面以上高 3m ，這條船能否從橋下通過？ 探究 1： 某圓拱橋的水面跨度是 20m ，拱高為 4m .現有一船寬 9m ，在水面以上部分高3m ，故通行無阻 .近日水位暴漲了 ，為此，必須加重船載，降低 船身 .當船身至少應降低 m 時，船才能通過橋洞 .（結果精確到 ） 解 ： 建立直角坐
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