利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問(wèn)題(完整版)
【正文】 造函數(shù)是比較重要的。一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（一）、利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式我們知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時(shí)，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）。例如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求最大（?。┲怠⑶蠛瘮?shù)的值域等等。證明：設(shè)f(x)= x－ln(1+x)(x0), 則f(x)= 21+x∵x0,∴f39。(x)=2xln2－2(x≥3),∵x≥3,∴f39。14例5：f(x)=x3－x, x1,x2∈[－1,1]時(shí)，求證：|f(x1)－f(x2)|≤ 33證明：∵f39。x∈（0，+∞）恒成立Page 3 of5′h(x)=0解x=設(shè)h(x)=則h39。), f39。x206。0 由f39。(x)=cosx1.∵x206。0,由減函數(shù)的定義可知，x206。)上恒成立，\f(x)在即f39。）因而在內(nèi)恒有f39。(x)=11 1+x１\ln(1+x)x Q x0 \ 1 \ g162。=11/(1+x)=x/(x+1)0所以f(x)在(1，+無(wú)窮大)上為增函數(shù)f(x)f(1)=1ln2o所以xln(x+12..證明：aa^20其中0F(a)=aa^2F39。/2cosx1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0x178。(x)故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得f(0)=0,f(1)=0故f(x)的最小值為零故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=xx178。考慮到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒0時(shí)，f(x)f(0)，這只要證明：f(x)在區(qū)間[0,+165。)時(shí)，f39。2,01+x即要證所以：f(x)0，所以f(x)在[2,+165。(x)=g39。2評(píng)注：本題在設(shè)輔助函數(shù)時(shí)，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，因此，設(shè)輔助函數(shù)時(shí)就把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為自變量，范例中選用右端點(diǎn)，讀者不妨設(shè)為左端點(diǎn)試一試，就更能體會(huì)到其中的奧妙了。0，證明：e1+xx2ln(1+x)(2)x0時(shí)，求證：x2二、常數(shù)類不等式證明常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明不等式 f(a)f(b)的問(wèn)題，在根據(jù)a,b的不等式關(guān)系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。1)，各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足4Sngf()=1，【引申】已知函數(shù)f(x)=an2(x1)1n+11（1）求證：ln； an+1nan（2）設(shè)bn=1，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：T20081ln2008T2007。1mnx，1+xb a【變式3】已知f(x)=lnx，g(x)=127，直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的 x+mx+（m0）22圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；（Ⅱ）若h(x)=f(x+1)g162。總之，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問(wèn)題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，因此，希望同學(xué)門能認(rèn)真對(duì)待，并通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)掌握它。(x)0，當(dāng)xa時(shí)，F(xiàn)39。39。例2：（2001年全國(guó)卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165。i、m、n為正整數(shù)，且1第四篇：談利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.談利用導(dǎo)數(shù)證明不等式數(shù)學(xué)組鄒黎華在高考試題中，不等式的證明往往與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的內(nèi)容綜合，屬于在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)的試題，有一定的綜合性和難度，突出體現(xiàn)對(duì)理性思維的考查，特別是利用高中新增內(nèi)容的導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學(xué)接軌的有力點(diǎn)。/6sinx是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0得xx179。當(dāng)1/2因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/40即有當(dāng)000,證明：不等式xx^3/6先證明sinx因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，sinxx=0如果當(dāng)函數(shù)sinxx在x0是減函數(shù)，那么它一定因?yàn)閏osx1≤0所以sinxx是減函數(shù)，它在0點(diǎn)有最大值0
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