【正文】 先著地 ?這是一個古老而有趣的問題 .兩千多年前 ,古希臘哲學家亞里多德認為 :物體越重 ,下落速度越快 .直到后來 ,實驗證明 :在忽略空氣阻力的情況下 ,高度相同的物體 ,下落時間相同 .設 h 為某物體從某一點下落的高度 ,t 為下落的時間 ,二者之間是函數(shù)關系 ,你能列出這個函數(shù)的解析式嗎 ?函數(shù)是初等數(shù)學中最基本的概念之一 ,是我們的實際生活中數(shù)學建模的重要工具 .前面我們學習了一次函數(shù) ,反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)和應用 ,本章我們將學習一類新的函數(shù) ───二次函數(shù) . 二、推進新課 (一 )試一試 思考：現(xiàn)有 60 米的籬笆要圍成一個矩形場地 , (1)若矩形的長為 10 米 ,它的面積是多少 ? (2)若矩形的長分別為 15 米、 20 米、 30 米時 ,它的面積分別是多少 ? (3)從上兩問同學們發(fā)現(xiàn)了什么 ? 教師提出問題 ,學生獨立回答 .通過幾個簡單的問題 ,讓學生體會兩變量的關系 . (二 )走進生活 問題 1:要用長 20 米的鐵欄桿圍成一面長靠墻的矩形花園 . 1. 設矩形花圃的垂直于墻的一邊 AB 的長為 xm，先取 x 的一些值，算出矩形的另一邊 BC 的長，進而得出矩形的面積 ym2．試將計算結(jié)果填寫在下表的空格中 . AB 長 x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC 長 (m) 12 面積 y(m2) 48 2． x 的值是否可以任意取 ?有限定范圍嗎 ? 3．我們發(fā)現(xiàn)，當 AB 的長 (x)確定后，矩形的面積 (y)也隨之確定， y 是 x 的函數(shù)，試寫出這個函數(shù)的關系式 . 對于 1，可讓學生根據(jù)表中給出的 AB 的長，填出相應的 BC 的長和面積，然后引導學生觀察表格中數(shù)據(jù)的變化情況，提出問題： (1)從所填表格中，你能發(fā)現(xiàn)什么？ (2)對前面提出的問題的解答能作出什么猜想 ?讓學生思考、交流、發(fā)表意見，達成共識：當 AB 的長為 5cm， BC 的長為 10m 時，圍成的矩形面積最 大；最大面積為 50 m2. 對于 2，可讓學生分組討論、交流，然后各組派代表發(fā)表意見。本章內(nèi)容，既是對之前所學函數(shù)知識的一個補充，對函數(shù)知識系統(tǒng)的一個完善，也是以后學習高等函數(shù)知識的一個基礎。再通過分析實際問題，以及用關系式表示這一關系的過程，引出二次函數(shù)的概念，獲得用二次函數(shù)表示變量之間關系的體驗。 師：對于 “ 函數(shù) ” 這個詞我們并不陌生，大家還記得我們學過哪些函數(shù)嗎 ? 生：學過正比例函數(shù)，一次函數(shù)，反比例函數(shù)． 一次函數(shù) y=kx+b （其中 k、 b是常數(shù)，且 k≠0 ） 正比例函數(shù) y＝ kx （ k 是不為 0 的常數(shù)） 反比例函數(shù) y= （ k 是不為 0的常數(shù)） 師：那函數(shù)的定義是什么，大家還記得嗎 ? 生：記得，在某個變化過程中，有兩個變量 x和 y，如果給定一個 x 值，相應地就確定了一個 y值，那么我們稱 y是 x 的函數(shù)，其中 x是自變量， y是因變量． 師：學 習這些函數(shù)的時候，大家還記得我們從哪幾個方面探究的嗎 ? 生： 定義、函數(shù)的一般形式、函數(shù)的圖像和性質(zhì)、函數(shù)在實際問題中的應用、函數(shù)與方程與不等式的關系等。 ） 問題 3．某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在年產(chǎn)量是 20件，計劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加 x 倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量 y 將隨計劃所定的 x的值而確定，y 與 x 之間的關系應怎樣表示？ 這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是 20件，一年后的產(chǎn)量是 件，再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是 件，即兩年后的產(chǎn)量為 。（ 2） a,b,c 為常數(shù)，且 a≠ 0；（ 3 ）等式的右邊最高次數(shù)為 2 ，可以沒有一次項和常數(shù)項，但不能沒有二次項。 例 4．寫出下列各函數(shù)關系和自變量的取值范圍，并判斷它們是什么類型的函數(shù) （ 1）寫出正方體的表面積 S（ ）與正方體棱長 a（ cm）之間的函數(shù)關系； （ 2）寫出圓的面積 y（ ）與它的周長 x（ cm）之間的函數(shù)關系； （ 3）菱形的兩條對角線的和為 26cm，求菱形的面積 S （ ）與一對角線長x（ cm）之間的函數(shù)關系． 解 : （ 1）由題意得 其中 S是 a的二次函數(shù)； （ 2）由題意得 其中 y是 x的二次函數(shù)； （ 3）由題意得 其中 S是 x的二次函數(shù) 注意 :當二次函數(shù)表示某個實際問題時 ,還必須根據(jù)題意確定自變量的取值范圍 . 師生行為：教師出示例 3，讓學生分組展開討 論，待學生充分交流后，教師再組織各小組展示自己的討論結(jié)果，共同得到正確的解答，并獲得解題的經(jīng)驗。 設計意圖：學生歸納本節(jié)課學習的主要內(nèi)容，讓學生自覺對所學知識進行梳理，形成體系，養(yǎng)成良好的學習習慣。二次函數(shù)第一課時，教材中安排的內(nèi)容不多，但學生對函數(shù)的知識已經(jīng)生疏，接受起來不會很順利。 設計意圖 ：通過例 3的設計，讓學生對二次函數(shù)定義更深層次的理解，進一步內(nèi)化新知、突破難點，培養(yǎng)數(shù)學思維的嚴謹性；對于例 4，整個探究過程都是讓學生自己去探索，在探索中發(fā)現(xiàn)新知，在交流中歸納新知，把學習的主動權(quán)交給學生，增強學生創(chuàng)造的信心，體驗到成功的快樂。 問題 6．結(jié)合“情境”中的三個二次函數(shù)的 表達式，給出常數(shù) a、 b、 c的取值范圍，強調(diào) 。 ) 問題 4．請觀察上面列出的三個式子，它們是不是函數(shù)？為什么？如果是，它是我們學過的函數(shù)嗎？（是；根據(jù)函數(shù)的定義讓學生說出變量、自變量與函數(shù)；不是學過的三種函數(shù)） 問題 5．觀察上面的三個函數(shù)，從解析式看有什么共同點？（在上面的三個函數(shù)中，自變量的最高次數(shù)是二次的。 教師重點關注：學生回答問題結(jié)論準確性，能否把前后知識聯(lián)系起來，對于一些概括性較強的問題，教師要進行適當引導。 （二）過程與方法： 1．感悟新舊知識間的關系，讓學生 更深地體會數(shù)學中的類比思想方法； 2．經(jīng)歷探索、分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關系的過程，進一步體驗如何用數(shù)學的方法描述變量之間的數(shù)量關系． 3. 能夠利用嘗試求值的方法解決實際問題．進一步體會數(shù)學與生活的聯(lián)系，增強用數(shù)學意識。而本節(jié)課又是本章的第一