第二章167111橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(完整版)
【正文】 MF1|＋ |MF2|＝ 2a, 提示： x29 ＋y 25 ＝ 1. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知 A(－ 2,0)， B(2,0)， C(0,2)，D(0，－ 2)． 問(wèn)題 1：若動(dòng)點(diǎn) P滿(mǎn)足 |PA|＋ |PB|＝ 6，則 P點(diǎn)的軌跡方程是什么？ 問(wèn)題 2：若動(dòng)點(diǎn) P滿(mǎn)足 |PC|＋ |PD|＝ 6，則動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程是什么？ 提示： y29 ＋x 25 ＝ 1 . 焦點(diǎn)在 x軸上 焦點(diǎn)在 y軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)坐標(biāo) a、 b、 c的關(guān)系 x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝ 1( a b 0) (177。 | F1F2| | PF2|，而無(wú)需單獨(dú)求出 | PF1|和 | PF2|，這樣可以減少運(yùn)算量． 4．平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) M及兩定點(diǎn) A， p： |MA|＋ |MB|為 定值， q：點(diǎn) M的軌跡是以 A， B為焦點(diǎn)的橢圓．那么 ( ) A． p是 q的充分不必要條件 B． p是 q的必要不充分條件 C． p是 q的充要條件 D． p既不是 q的充分條件，又不是 q的必要條件 解析： 若 |MA|＋ |MB|為定值，只有定值 |AB|時(shí)，點(diǎn) M軌跡才是橢圓．故 p為 q的必要不充分條件． 答案： B 5 ．橢圓x216＋y27＝ 1 的左，右焦點(diǎn)分別為 F 1 ， F 2 ，一直線(xiàn)過(guò) F 1 交橢圓于 A ， B 兩點(diǎn)，則 △ ABF 2 的周長(zhǎng)為 ( ) A ． 32 B ． 16 C ． 8 D ． 4 解析： ∵ a2＝ 16， a＝ 4，而由橢圓定義 |AF1|＋ |AF2|＝ 2a， |BF1|＋ |BF2|＝ 2a， ∴ △ ABF2周長(zhǎng)＝ |AB|＋ |AF2|＋ |BF2| ＝ |AF1|＋ |BF1|＋ |AF2|＋ |BF2|＝ 4a＝ 16. 答案： B 6 ．點(diǎn) P 在橢圓 x24 ＋ y2 ＝ 1 上，且 PF1 ⊥ PF 2 ，求 S △ PF 1 F 2 . 解： ∵ 點(diǎn) P 在橢圓上 ∴ | PF 1 |＋ | PF 2 |＝ 4 ， 即 | PF 1 |2＋ | PF 2 |2＋ 2| PF 1 || PF 2 |＝ 16 ， 又 PF 1 ⊥ PF 2 ∴ | PF 1 |2＋ | PF 2 |2＝ | F 1 F 2 |2＝ 12 ， ∴ | PF 1 || PF 2 |＝ 2 ， ∴ S △ PF 1 F 2 ＝12| PF 1 || PF 2 |＝ 1. [例 3] (12分 )已知圓 B： (x＋ 1)2＋ y2＝ 16及點(diǎn) A(1,0)， C為圓 B上任意一點(diǎn)，求 AC的垂直平分線(xiàn) l與線(xiàn)段 CB的交點(diǎn) P的軌跡方程． [思路點(diǎn)撥 ] P為 AC垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)，則 |PA|＝ |PC|，而 BC為圓的半徑，從而 4＝ |PA|＋ |PB|，可得點(diǎn) P軌跡為以 A、B為焦點(diǎn)的橢圓． [ 精解詳析 ] 如圖所示，連接 AP ， ∵ l垂直平分 AC ， ∴ | AP |＝ | CP |. (3 分 ) ∴
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