41微積分第四章第一節(jié)(完整版)
【正文】 . 注 4:當(dāng)需要從積分曲線族中求出 過(guò)點(diǎn) 的一條積分曲線時(shí) , 則只須把 代入 y = F(x) + C中解出 C即可 . 00( , )xy00( , )xy 10 例 4 已知一條曲線在任意一點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo) 的倒數(shù) , 且過(guò)點(diǎn) 求此曲線方程 . 3( ,5),e解 設(shè)所求曲線為 y = ?(x) , 則 1 dydx x?由題意1 lny d x x Cx? ? ? ??3 5 xey ? ?由條件 知有 35 ln ,eC?? 2 .C ?得故所求曲線為 y = ln|x| + 2 四 .不定積分的性質(zhì) 性質(zhì) 1 ( 1 ) [ ( ) ] ( ) f x d x f x? ?? 或[ ( ) ] ( ) .d f x d x f x d x??.即積分與求導(dǎo)二者作用抵消11 即 是 ?(x) 177。 39。( )F a x b C F a x b aaa? ? ? ? ?39。 而 是 ?(x)的原函數(shù)一般表達(dá)式 , 所以它對(duì)應(yīng)的圖形是一族積分曲線稱它為積分曲線族 , 其特點(diǎn)是 : ()f x dx? (1)積分曲線族中任意一條曲線可 由其中某一條 (如 y =F(x))沿 y軸平行 移動(dòng) |c|個(gè)單位而得到 . (如圖 )當(dāng) c0時(shí) , 向上移動(dòng) 。 不定積分的概念和性質(zhì) 3 定理 1 若函數(shù) ?(x)在區(qū)間 I上連續(xù) , 則 ?(x)在區(qū)間 I上的原函 數(shù)一定存在 . (證明略 ) 問(wèn)題 : ? ? ? 定理 2 設(shè) F(x)是函數(shù) ?(x)在區(qū)間 I上的一個(gè)原函數(shù) , 則對(duì)任 何常數(shù) C , F(x) + C也是函數(shù) ?(x)的原函數(shù) . 證 因 注 :?(x)有無(wú)限多個(gè)原函數(shù) .它們之間相差一個(gè)常數(shù) ( ( ) ) ( ) ( )F x C F x f x??? ? ?4 定理 3 設(shè) F(x)和 G(x)都是函數(shù) ?(x)的原函數(shù) , 則 F(x) – G(x) ≡ C (常數(shù) ) 證 ( ( ) ( ) )F x G x ??? ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x G x f x f x??? ? ? ?(
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