第六講-三角函數(shù)的單調(diào)性及最值(完整版)
【正文】 ＝3－2sin x取得最大值、最小值時的自變量x的集合，并分別寫出最大值、最小值；(2)求函數(shù)f(x)＝2sin2 x＋2sin x－，x∈的值域．解 (1)∵－1≤sin x≤1，∴當(dāng)sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z時，y取得最大值5，相應(yīng)的自變量x的集合為.當(dāng)sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z時，y取得最小值1，相應(yīng)的自變量x的集合為.(2)令t＝sin x，y＝f(t)，∵x∈，∴≤sin x≤1，即≤t≤1.∴y＝2t2＋2t－＝22－1，∴1≤y≤，∴函數(shù)f(x)的值域為.規(guī)律方法 (1)形如y＝asin x＋b的函數(shù)的最值或值域問題，利用正弦函數(shù)的有界性(－1≤sin x≤1)求解．求三角函數(shù)取最值時相應(yīng)自變量x的集合時，要注意考慮三角函數(shù)的周期性．(2)求解形如y＝asin2 x＋bsin x＋c，x∈D的函數(shù)的值域或最值時，通過換元，令t＝sin x，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可．求解過程中要注意t＝sin x的有界性．跟蹤演練3 求函數(shù)y＝sin＋cos的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值．解 ∵＋＝，∴cos＝cos＝cos＝sin.從而原式就是y＝2sin，這個函數(shù)的最小正周期為，即T＝.當(dāng)－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)時函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．當(dāng)＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)時函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．當(dāng)x＝＋(k∈Z)時，ymax＝2；
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