全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案(完整版)
【正文】 ）．解：由于都是正整數(shù)，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是 ≤．…………（5分）當(dāng)時(shí)，令，則 .…………（10分） 當(dāng)時(shí)，其中≤≤，令 ，則 ．綜上，滿(mǎn)足條件的所有正整數(shù)n為． …………（15分）14（乙）.解：當(dāng)時(shí)，把分成如下兩個(gè)數(shù)組：和． 在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得．在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得． 所以，． 下面證明當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè)條件．不妨設(shè)2在第一組，若也在第一組，則結(jié)論已經(jīng)成立．故不妨設(shè)在第二組． 同理可設(shè)在第一組，在第二組． 此時(shí)考慮數(shù)8．如果8在第一組，我們?nèi)?，此時(shí)；如果8在第二組，我們?nèi)。藭r(shí)．綜上，滿(mǎn)足題設(shè)條件．所以，的最小值為．（注：也可以通過(guò)考慮2，4，16，256，65536的分組情況得到n最小值為65536．）第 15 頁(yè) 共15頁(yè)。內(nèi)角的外角都等于30176。12（甲）. 如圖，⊙O的直徑為，過(guò)點(diǎn)，且與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)．為⊙O上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．點(diǎn)在上，且，BE的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，求證：△BOC∽△．12（乙）．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對(duì)角線，AC的中點(diǎn)I是△ABD的內(nèi)心. 求證：（1）OI是△IBD的外接圓的切線；（2）AB+AD = 2BD.13（甲）. 已知整數(shù)a，b滿(mǎn)足：a－b是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù). 當(dāng)2012時(shí)，求a的最小值.13（乙）．給定一個(gè)正整數(shù)，凸邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于？并說(shuō)明理由．14（甲）. 求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿(mǎn)足，且.14（乙）．將，…，（n≥2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù) （可以相同），使得，求的最小值．參考解答 一、選擇題1(甲) .C解：由實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以 ． 1（乙）．B解：．2（甲）．D解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱(chēng)性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.2（乙）．B解：由題設(shè)x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2.因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以有 解得 以上共計(jì)9對(duì).3（甲）．D 解：由題設(shè)知，所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為 ，于是 .3（乙）．B解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE. 由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE， BD = AE.又因?yàn)?，所?在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 4（甲）．D解：設(shè)小倩所有的錢(qián)數(shù)為x元、小玲所有的錢(qián)數(shù)為y元，均為非負(fù)整數(shù). 由題設(shè)可得
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