【正文】 用 其中的任意一個變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為 。 Company Logo 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 華中科技大學文華學院 例 3 建立右圖所示機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（注：質(zhì)量塊 m 的重量已經(jīng)和彈簧 k 的初始拉伸相抵消） 根據(jù)牛頓第二定律 22dtydmdtdyfkyFF ?????即： Fkydtdyfdt ydm ???22選擇狀態(tài)變量 yx ?1 12 xyx ?? ??21 xx ??則： FmxmfxmkFmdtdymfymkx 11 212 ?????????Company Logo 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 華中科技大學文華學院 機械系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為 Fmxxmfmkxx???????????????????????????????? 10102121??? ? ???????2101xxy該系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下 Company Logo 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 華中科技大學文華學院 由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達式 （ 1）系統(tǒng)輸入量中不含導數(shù)項 一般情況下， n 階微分方程為： ( ) ( 1 )1 1 0 0nn ny a y a y a y u???? ? ? ? ?選擇狀態(tài)變量如下： … 1 1 2 2 3x y x x y x x y? ? ? ? ?( 1 )1()0 1 1 2 1 0nnnnn n nx x yx y a x a x a x u??????? ? ? ? ? ? ?Company Logo 華中科技大學文華學院 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 寫成矩陣形式： 11220 1 2 3 1 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0nnnxxuxxa a a a a ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? 121 0 0 Tny x x x? ????系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下： Company Logo 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 華中科技大學文華學院 例 4： 設(shè)描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程是 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )x t x t x t u t? ? ?1 1 2 2 1 2,2x x x x x x? ? ? ? ? (1)若選狀態(tài)變量為 ，試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 解： 已知 0 1 1 0 1 0, , , 00 2 0 1 0 1A B C D? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 故 11111 ( 2 )()02 102s s s ssI Ass????????? ?? ? ???? ???????Company Logo 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 華中科技大學文華學院 1111 0 1 0( 2 )()0 1 0 1102s s sC s I A Bs?????? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ??????111( 2 )( ) ( )102s s sG s C s I A Bs????? ???? ? ????? ???返回 Company Logo 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 華中科技大學文華學院 用狀態(tài)空間表達式描述系統(tǒng)，一般要考慮兩個問題： （ 1）在有限時間內(nèi)，能否通過施加適當?shù)目刂屏? 將系統(tǒng)從任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到其它確定的狀態(tài)上去？ （可控性問題） （ 2）由于狀態(tài)變量不是都可測量，能否在有限的時間內(nèi)根據(jù)對輸出 的測量來確定初態(tài) ？ （可觀測性問題） ()ut()yt0()xt簡單地說 : 如果系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量的運動都可由輸入來影響和控制, 而由任意的始點達到終點 ,則系統(tǒng) 可控 (狀態(tài)可控 ). 如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量的任意形式的運動均可由輸出完全 反映 ,則稱系統(tǒng)是狀態(tài) 可觀測的 . Company Logo 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 華中科技大學文華學院 1x1x?2x2x? s1s12? 3?d 11 yu（ 1）若 ， 可以控制 并且通過耦合關(guān)系影響 達到間接控制 ，所以 都是可控制的。 )]0()0([ 21 xx ? )0()0( 21 xx ?一般情況下，系統(tǒng)方程可以表示為 ??????CxyBuAxx? （ 1） 狀態(tài)可控與否，不僅取決于 B 陣（ 直接關(guān)系 ），還取決于 A 陣（ 間接關(guān)系 ）。 ],[ 10 tt )(tu)( 1tx3）只有整個狀態(tài)空間中所有的有限點都是能控的，系統(tǒng)才是能控的。 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 華中科技大學文華學院 3）狀態(tài)空間中所有有限點都是能觀測的，則系統(tǒng)才是能觀測的。 BCompany Logo 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 華中科技大學文華學院 定理 25 若線性定常系統(tǒng) 的系統(tǒng)矩陣具有重特征值，且對應(yīng)于每一個重特征值只有一個約當塊，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是，經(jīng)線性非奇異變換后，系統(tǒng)化為約當標準形 x A x B u??12000000kJJx x B uJ????????????其中， 矩陣中與每個約當塊最后一行相對應(yīng)的那些行，其各行的元素不全為零。 ? ? 1224B AB ???? ?????? ? ? ?1 2 0C B C A B ??秩為 1，所以系統(tǒng)是狀態(tài)不能控的。 則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充要條件是 ， 經(jīng)線性等價變換將矩陣化成約當標準形后 ， 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式中 ， 與每個約當塊第一列相對應(yīng)的 矩陣的所有列 ， 其元素不全為零 。雖然它們的表達形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統(tǒng)能觀測性時是等價的。但是，由于要計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，比較繁瑣。雖然它們的表達形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統(tǒng)能控性時是等價的。 )(tu ) ( t f Company Logo 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 華中科技大學文華學院 二、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù) x A x B u??定理 21 上式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是下面的 n n維格拉姆矩陣滿秩 τt τTτt T dee),0( 101 AAC BBW ????（ 這個定理為能控性的一般判據(jù)。 ττe τt d)()0( 10 Bux A????（ 3） 5）當系統(tǒng)中存在不依賴于 的確定性干擾 時， 不會改變系統(tǒng)的能控性。狀態(tài)是否能觀測不僅取決于 C，還與 A 有關(guān)。 2x0d? 1xu 2x一、可控性與可觀測性的基本概念 例 1： 已知一系統(tǒng)的狀態(tài)方程 1 1 2 2 1 22 , 3 ,x x u x x d x y x? ? ? ? ? ? ?Company Logo 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 華中科技大學文華學院 例 2： 電橋電路 設(shè)狀態(tài)變量分別為 ,Lciu輸出變量為 cu電路動態(tài)方程： 3 4 3 41 2 1 21 2 3 4 1 2 3 4241 2 3 4 1 2 3 41111 1 1 1 0LLccR R R RR R R RL R R R R L R R R R iiuLuu RRC R R R R C R R R R??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??????? ????? ? ? ? ???? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???[0 1 ] Lcciyuu????????u4RLCcuLi 3R2R1RCompany Logo 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 華中科技大學文華學院 u4RLCcuLi 3R2R1R當 1 4 2 3R R R R?輸入電壓同時控制 ,Lciu電路狀態(tài)可控 當 1 4 2 3R R R R?電橋處于平衡， 若 00( ) 0 ,cu t t t??無論輸入 變化，但 ， u 0cu ? cu不可控。 xCompany Logo 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 華中科技大學文華學院 （ 2）系統(tǒng)輸入量中含有導數(shù)項 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )1 1 0 1 1 0n n n nn n ny a y a y a y b u b u b u b u????? ? ? ? ? ? ? ? ?0nb ?1011 2 , 3 , ,i i ix y h ux x h u i n???? ??? ? ? ?選狀態(tài)變量如右： 其展開式為 102 1 1 0 13 2 2 0 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 2 )1 1 0 1 1n n nn n n nx y h ux x h u y h u h ux x h u y h u h u h ux x h u y h u h u h u? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??Company Logo 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 華中科技大學文華學院 ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )1 1 0 0 0 0 1 1()n n n nn n nx a