數(shù)學(xué)二次函數(shù)中絕對(duì)值問(wèn)題的求解策略(完整版)
【正文】 定函數(shù)單調(diào)性時(shí)，要根據(jù)條件，把定義域分割成若干個(gè)區(qū)間，分別討論其單調(diào)性。解 ∵f(180)=f(1180)=f(1)利用所給條件，通過(guò)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，用不完全歸納法問(wèn)題出猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明，是處理抽象函數(shù)遞推型綜合題的常用方法。我們可以用不完全歸納法尋找f(x)的解析式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。綜上可知b=1.四、動(dòng)區(qū)間與動(dòng)軸當(dāng)區(qū)間和對(duì)稱軸均在變化時(shí)，亦可根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)及穿過(guò)區(qū)間三種情況討論，并結(jié)合圖形和單調(diào)性處理?；騧=2 ,m=2與0≤m≤1矛盾。本文就區(qū)間和對(duì)稱軸動(dòng)與靜的變化進(jìn)行分類，探索求最值的方法。例4 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),對(duì)一切x[－1,1],都有|f(x)|≤1，且g(x)=cx2+bx+a，求證：（1）x[－1,1]時(shí)，|2ax+b|≤4.（2）x[－1,1]時(shí)，|g(x)|≤2.證明 （1）由題設(shè)條件，可得又由題意可知要證明時(shí)，|2ax+b|≤4，只要證明|177。本題除了取x=－外，x還可取那些值呢？留給讀者思考。二次函數(shù)和絕對(duì)值所構(gòu)成的綜合題，由于知識(shí)的綜合性、題型的新穎性、解題方法的靈活性、思維方式的抽象性，學(xué)習(xí)解題時(shí)往往不得要領(lǐng)，現(xiàn)從求解策略出發(fā)，對(duì)近年來(lái)各類考試中的部分相關(guān)考題，進(jìn)行分類剖析，歸納出一般解題思考方法。（2）這是一個(gè)存在性命題，怎么理解“至少存在一個(gè)x0”呢？其實(shí)質(zhì)是能找到一個(gè)這樣的x0，問(wèn)題就解決了，不妨用最特殊的值去試一試。例3 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x和y=x均無(wú)公共點(diǎn)，求證：（1）4ac－b21.（2）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有.分析（1）略。若，則∵|c|≤1,又因此，對(duì)一切,都有|f(x)|≤7.例9 （1998年“希望杯”高三賽題）若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，對(duì)一切x[0,1],恒有|f(x)|≤1.（1）對(duì)所有這樣的f(x)，求|a|+|b|+|c|可能的最大值；（2）試給出一個(gè)這樣的f(x)，使|a|+|b|+|c|確實(shí)取到上述最大值。分析 f(x)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=m。將表達(dá)式配方，得由于x[－b,b]，對(duì)稱軸,所以應(yīng)對(duì)及分類討論。因此，抽象函數(shù)在近幾年的各種考試中，成為考查的重點(diǎn)。f(1)=2k三、求函數(shù)值或值域例3 已知定義在N*上，且在N*上取值的增函數(shù)y=f(n)。分析 抽象函數(shù)求最值問(wèn)題，一般是先根據(jù)條件確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再確定其最值。（2）由圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，可得f(x)=f(2－x)，再利用f(－x)=f(x)就可確定其周期。又由奇函數(shù)的性質(zhì)知f(x)在x(0,1)上仍然是減函數(shù)，且f(x)0.故所證不等式成立。分析 由方程根的意義及等式f(x)=f(12－x)的意義知，方程的根是成對(duì)出現(xiàn)的，且成對(duì)兩根之和是12.解 由方程f(x)=f(12－x)知，如果x0是方程f(x)的根，那么12－x0也是方程的根，且x0≠12－x0,x0+(12－x0)==124可知方程f(x)=0有四對(duì)不同的實(shí)數(shù)根，即方程f(x)=0有8個(gè)不同的實(shí)根，∴n=8.注 解此題的關(guān)鍵是，理解f(x)=f(12－x)的意義，判斷出方程根的性質(zhì)。如課本中數(shù)列一章有詳細(xì)推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過(guò)程，通過(guò)復(fù)習(xí)要掌握“倒序相加法”和“錯(cuò)位相加法”兩種不同的方法，為我們?cè)跀?shù)列求和的解題中提供思路和方法。三、強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段——強(qiáng)化訓(xùn)練，提高應(yīng)試實(shí)戰(zhàn)能力從某種意義上說(shuō)，成績(jī)是練出來(lái)的，考前強(qiáng)化訓(xùn)練尤其重要。在練習(xí)時(shí)要注意以下幾點(diǎn)。二、綜合復(fù)習(xí)階段——綜合深化，掌握數(shù)學(xué)思想方法第二輪復(fù)習(xí)是在第一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行鞏固、完善、綜合、提高的重要階段，是關(guān)系到學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)能否迅速提高進(jìn)而適應(yīng)高考中、難度試題的關(guān)鍵。 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，大體可分三個(gè)階段，每一個(gè)階段的復(fù)
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