用dft進(jìn)行頻譜分析及其誤差問(wèn)題研究(完整版)
【正文】 （12）將連續(xù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)與序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)聯(lián)系起來(lái)，需進(jìn)行如下變換。4 利用 DFT 對(duì)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)進(jìn)行譜分析 譜分析原理DFT 是一種時(shí)域和頻域均離散化的變換，可用計(jì)算機(jī)直接計(jì)算，而連續(xù)信號(hào)的傅立葉分析顯然不便于直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。在對(duì)有限長(zhǎng)序列進(jìn)行譜分析時(shí)，通過(guò)適當(dāng)選取DFT的長(zhǎng)度，達(dá)到用DFT進(jìn)行譜分析的目的，尤其需要注意的是第k(0≤k≤N 1)條離散譜線對(duì)應(yīng)的 FT 的頻率為。對(duì)于有限長(zhǎng)序列，可知其FT是周期為的連續(xù)譜，其DFT是在區(qū)間[0，]上對(duì)其FT進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣得到的離散譜。因此，信號(hào)的頻譜分析是數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)中的一種較為重要的工具。[1]眾所周知，傅里葉變換和Z變換是信號(hào)處理中常用的重要數(shù)學(xué)變換。因此對(duì)于不同的變換長(zhǎng)度 N，同一個(gè)序列的DFT也不同。3 利用 DFT 對(duì)周期序列進(jìn)行譜分析 譜分析原理設(shè)為周期為N的周期序列，對(duì)于周期序列的頻譜分析可分 3 步進(jìn)行：（1）截取其一個(gè)周期對(duì)應(yīng)的主值序列，對(duì)主值序列進(jìn)行 N 點(diǎn) DFT 得到其離散譜，即DFT[] == ，k=0，1，…，N1。因此對(duì)連續(xù)信號(hào)的譜分析，可通過(guò)對(duì)連續(xù)信號(hào)時(shí)域進(jìn)行采樣，應(yīng)用DFT進(jìn)行近似譜分析[1]。在時(shí)域一個(gè)周期T0內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行 N 點(diǎn)采樣，采樣間隔為，則式(11)變?yōu)? (13) 對(duì)式(12)進(jìn)行時(shí)域采樣和頻域截?cái)啵顾蔀橛邢揲L(zhǎng)序列，如果截?cái)嚅L(zhǎng)度剛好等于一個(gè)周期(時(shí)域采樣造成的頻域周期延拓的一個(gè)周期)，則式(12)變?yōu)? (14) 對(duì)比DFT和DFS的定義，式(12)，(13)可表示為 (15) (16)式(15)，(17)就是用DFS(DFT)來(lái)計(jì)算連續(xù)周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)的近似公式。在對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)，一定要首先判斷信號(hào)頻譜的大致情況(即離散還是連續(xù)、周期還是非周期)，然后再選擇合適的譜分析公式對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析。在DFT近似譜分析中，若信號(hào)持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)以致難于存儲(chǔ)和計(jì)算，就要截取有限點(diǎn)進(jìn)行DFT[4]；若信號(hào)頻譜很寬容易造成采樣后的混疊失真，就要用濾波器濾去幅度較小的高頻成分。截取長(zhǎng)度越長(zhǎng)則信號(hào)損失就越小，譜分析近似性就越高。由于“柵欄”的存在，有可能擋住比較大的頻譜分量，造成較大的誤差。對(duì)實(shí)信號(hào)譜分析，要求分辨率F≤50Hz，信號(hào)最高頻率1kHz。DFT的結(jié)果和我們想象中的連續(xù)時(shí)間域的頻譜是很相似的。 圖6 （a） x(t)FT頻譜 （b） x(t)的64DFT頻譜（c） x(t)的128DFT頻譜 （d） x(t)的256DFT頻譜圖6柵欄效應(yīng)仿真圖對(duì)于頻譜泄露效應(yīng)的仿真，運(yùn)用了兩次三組數(shù)據(jù)對(duì)比的方法，較好的對(duì)頻譜泄露效應(yīng)的產(chǎn)生以及分析。此我們可以看到“直接對(duì)信號(hào)進(jìn)行DFT來(lái)分析頻譜” 這種分析方式的結(jié)果的準(zhǔn)確性波動(dòng)太大，比如以上的結(jié)果中，在實(shí)例1中的結(jié)果非常之好。 圖8 非整周期采樣的有限長(zhǎng)正弦序列進(jìn)行2倍的周期延拓如果我們對(duì)非整周期的有限長(zhǎng)信號(hào)序列做DFT，實(shí)際上等價(jià)出來(lái)的周期序列并不是原始的信號(hào)，我們得到的譜分析結(jié)果也不是真正的結(jié)果。結(jié)果顯示在原來(lái)的8個(gè)DFT的結(jié)果樣點(diǎn)之間，新冒出來(lái)的DFT樣點(diǎn)大部分不是0值，也就是說(shuō)，補(bǔ)零之后的DFT的結(jié)果與實(shí)例4的結(jié)果有很大的不同。四年的求學(xué)生涯在師長(zhǎng)、親友的大力支持下，走得辛苦卻也收獲滿囊。他治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)識(shí)淵博，思想深邃，視野雄闊，為我營(yíng)造了一種良好的精神氛圍。實(shí)例6從下面的圖中，我們可以看到，如果采樣不是整個(gè)的周期，那么大部分樣點(diǎn)上均出現(xiàn)了非零的能量值，此時(shí)的DFT結(jié)果和我們相像中的兩根譜線已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)了。有限長(zhǎng)的正弦序列的采樣，可以看作是無(wú)限長(zhǎng)的正弦信號(hào)的采樣序列乘以
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