四種命題四種命題間相互關(guān)系(完整版)
【正文】 題，來(lái)間接地證明原命題為真命題.探究2 根據(jù)互為逆否命題的真假性相同來(lái)判斷命題的真假，是哪種證明方法的理論基礎(chǔ)？【提示】是反證法的理論基礎(chǔ).例3判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，則a≥1”的逆否命題的真假.法一：→→→ 法二：→【自主解答】法一：原命題的逆否命題：已知a，x為實(shí)數(shù)，若a1，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集.真假判斷如下：∵拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2開口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a1，則4a－70.即拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2與x軸無(wú)交點(diǎn).所以關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集.故原命題的逆否命題為真.法二：先判斷原命題的真假.因?yàn)閍，x為實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥.因?yàn)閍≥，所以a≥1，所以原命題為真.又因?yàn)樵}與其逆否命題等價(jià)，所以逆否命題為真.這種問題的解決通常有兩種方法：一是直接法，先寫出逆否命題，后判斷，如法一；二是間接法，不寫逆否命題，從判斷原命題的真假證明逆否命題的真假，如法二.[再練一題]：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.解：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b＜0，則f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b).”∵當(dāng)a＋b＜0時(shí)，a＜－b，b＜－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a).∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，即逆否命題為真命題.∴
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