【正文】 1022121]1[)(PPPuuuC? 3）三次 Bezier曲線 （寫出 三次 Bezier曲線的展開參數(shù)方程 ） ? 矩陣表示為： 33221203 )1(3)1(3)1()( PuPuuPuuPuuC ????????????????????????????????????3210230001003303631331]1[)(PPPPuuuuC ? 圖 三次 Bezier 曲線 Bezier 曲線 具體計算 p0 = x0,y0 p1 = x1,y1 p2 = x2,y2 p3 = x3,y3 p(t) = (1t)3p0 + 3(1t)2tp1 + 3(1t)t2p2 + t3p3 轉(zhuǎn)化為平面上的點，計算方法如下： x(t) = (1t)3x0 + 3(1t)2tx1 + 3(1t)t2x2 + t3x3 y(t) = (1t)3y0 + 3(1t)2ty1 + 3(1t)t2y2 + t3y3 p(t) = Si=0..3 Bi(t) pi Bi(t) = (3i) ti (1t)3i 三次 Bezier曲線舉例 ? 已知 4控制頂點坐標(biāo)分別為： ? P0(1,1),P1(2,3),P2(4,3),P3(3,1) 分別計算當(dāng) t=0,1 時，曲線上點的坐標(biāo)值，并用光滑曲線連接該6點。 p(t)= Pk H0(t)+ Pk+1 H1(t)+ Rk H2(t)+ Rk +1 H3(t) p(0)= Pk p(1)= Pk+1 p 180。 參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性的區(qū)別 ? 參數(shù)連續(xù)性 – 傳統(tǒng)意義上的、嚴(yán)格的連續(xù) ? 幾何連續(xù)性 – 只需限定兩個曲線段在交點處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)成比例，不必完成相等，是一種更直觀、易于交互控制的連續(xù)性。它的參數(shù)方程為： ????????)(),()(uzzuyyuxx],[ 0 nuuu ?)](),(),([)( uzuyuxuCC ??規(guī)范化區(qū)間 若 t的區(qū)間： [a,b]， 如果把它轉(zhuǎn)換為 [0,1] ，如何做？ 方法（相似性，比例不變）： （ 例：區(qū)間 [5， 8]， 通過仿射變換到區(qū)間 [0,1]） 解： t’=(ta)/(ba) , 則 t’ ? [0,1] 參數(shù)表示的優(yōu)點 1)有更大的自由度控制曲線曲面的形狀； 2)可對參數(shù)曲線曲面的方程直接進行幾何變換 ，而不需要對曲線曲面的每個數(shù)據(jù)點進行幾何變換； 3) 可以處理斜率無窮大的情況； 4)代數(shù) 、 幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的 ，對變量個數(shù)不限 ， 便于將低維空間中的曲線曲面擴展到高維空間中 ； 5)便于采用規(guī)格化的參數(shù)變量 如：區(qū)間 [a,b] （ 如區(qū)間 [5， 8]） 可由區(qū)間 [0,1]通過仿射變換得到 。 ? 如果采用的數(shù)學(xué)方法不具有幾何不變性，則不同測量坐標(biāo)系測得的同一組數(shù)據(jù)點，會得到不同的擬合曲線。 ? 插值和逼近 曲線曲面設(shè)計中的兩種不同方法 。 – 計算機輔助幾何設(shè)計（ CAGD， Computer Aided Geometric Design） – 曲線曲面基礎(chǔ) ? 數(shù)學(xué)描述的發(fā)展，表示要求 ? 參數(shù)化表示的優(yōu)點 ? 插值與擬合 ? 連續(xù)性條件 ? 三次樣條曲線 /曲面 ? Bezier曲線 /曲面 ? B樣條曲線 /曲面 ? NURBS曲線 參數(shù)曲線基礎(chǔ) 自由曲線 一 .概述 曲線 ：規(guī)則曲線 ——可用曲線方程式表示的曲線。曲線上點的數(shù)量取多少，直線段取多長，取決于繪制曲線的精度要求和圖形輸出設(shè)備的精度。 P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 ? 1963年， 波音，將曲線曲面表示為參數(shù)的矢函數(shù)方法（參數(shù)三次曲線） ? 1964， Coons曲面 ? 1964， 樣條函數(shù) ? 1971， Bezier控制多邊形定義曲線 （法，雷諾汽車 ） ? 1972， De Boor， B樣條標(biāo)準(zhǔn)算法 ? 80年代， 非有理 B樣條（ NURBS） ? 在計算機內(nèi)表示曲線曲面，其形狀的數(shù)學(xué)描述應(yīng)保留產(chǎn)品的形狀的盡可能多的性質(zhì)。其連接必須是光滑的。 曲線段間的連續(xù)性定義 ? 幾何連續(xù)性 : – G0連續(xù) （ 0階幾何連續(xù) ） ——與 C0連續(xù)相同 。 （ 式二） 將式二代入式一，解得： D = C= B= A= 將 A、 B、 C、 D分別代入式一中 ,整理得 : p(t)=( ？ ) p0+ ( ？ ) p1+ ( ？ ) p’0+ ( ？ ) p’1 (t ?[0， 1] ) 三次樣條曲線推導(dǎo) ? 簡化為： p(t)=At3+Bt2+Ct+D （ 式一） p’(t)= （ 寫出 ） p0= , p1= , p’0= , p’1 = 。 例：已知兩個端點的坐標(biāo)值及其一階導(dǎo)數(shù)，求其 Hermite三次曲線方程。 ? 5） 幾何不變性 ? Bezier曲線的位置和形狀只與特征多邊形的頂點的位置有關(guān) ， 它不依賴坐標(biāo)系的選擇 。i++ ) Q[i]=P[i] 。 Bezier曲線的任意分割是指給定兩個參數(shù)值 求原 Bezier曲線 上由兩點 與 所界定的那段子曲線段的控制頂點： 1)先用 對原曲線做一分為二的分割； Pn0nPPP 01000 ,. . . ,],0[ u 0110 ,. . . , nnn PPP ?]1,[u10 21 ??? uu]1,0[),( ?uuC )( 1uC )( 2uC2uu ?? 2） 對 那個子曲線用 做一分為二的分割 ， 所得子曲線段 就是所求的原 Bezier曲線的子曲線段 ? ? Bezier 曲線的分割 ],0[ 2uu ? 21 uuu ?]1,[),( 21 uuuuP ?],[),( 21 uuuuP ?? ７ ． Bezier曲線的升階 有時為了便于 Bezier曲線的修改 ， 需要增加控制頂點提高靈活性 ， 而不要改變原來曲線的形狀 ， 也就是將 n次的 Bezier曲線進行升級表達為 n+1次的 Bezier曲線 ， 即： ? 只需將左邊乘以 然后比較 ? 的系數(shù) ， 即可得到 ?? ???????101,0, )()()(niniininii uBPuBPuP)]1([ uu ??)1( 1uu ini ? ??1, . ..,2,1,0,)11(1 1 ???????? ? niPn iPn iP iii? 幾何意義： ? 1） 新的控制頂點是對老的特征多邊形在參數(shù) 處進行線性插值的結(jié)果； ? 2） 升階后的新的特征多邊形在老的特征多邊形的凸包內(nèi)； ? 3） 升階后的新的特征多邊形更逼近 Bezier曲線； )1/( ?ni? 例如對于二次 Bezier曲線： ? 升階后的控制頂點為 ? ????????????????????????PPPuuuP21020010221211)(PPPPPPPPPP232121010031323231??????????9. Bezier曲線的拼接 設(shè)有兩條 Bezier曲線 和 ， 其控制頂點分別為：Ｐ 0,Ｐ 2,? Ｐ n 和 Q0,Q2,? Qm： )(uP )(wQ]1,0[,)()(]1,0[,)()(0,0,????????wwBPwQuuBPuPmjmjjninii? 現(xiàn)考慮兩條曲線的拼接，不同階幾何連續(xù)的條件如下： 1)一階連續(xù)性 根據(jù)端矢量條件： 其連續(xù)條件為 即 ： )()0()()1(011nQPPmP mm?????? ?)0()1( QP ??? ?)( 101 PPnm mm ???? ? ? 1） 二階連續(xù)性 ? 根據(jù)二階導(dǎo)矢量： ? 為滿足連續(xù)性條件： ? 可得： ? )2)(1()0()2)(1()1(01221QnnQPPPmmP mmm???????????? ??)0()1( QP ????? ?)2()1()1()(2 2121022PPPnnmmPPnm mmmmm ??? ?????????????? ? Bezier 曲線的拼接 ? 有理 Bezier曲線 有理 Bezier曲線的定義式為： 與 Bezier曲線相比，除了可以調(diào)節(jié)有理 Bezier曲線的控制頂點外，還可以調(diào)節(jié)其權(quán)因子的大小來改變曲線的形狀；因而具有更強的造型功能； ?????? ??niininiininiiiniPuRuBPuBuP0,0,0,)()()()(??? 其性質(zhì)包括： 1)端點性質(zhì)： 2)端點切矢量 3)凸包性質(zhì) 。 6)幾何不變性 曲面 的形狀和位置與坐標(biāo)系的選取無關(guān) ，僅僅與各控制頂點的位置有關(guān) ? 7) 變差遞減性 ? 對于 Bezier曲面 ， 空間任意條直線與其交點的個數(shù)不多于該直線與其控制多邊形的交點個數(shù)； ),( vuS ), . . . ,1,0。i=n。 是一分段多項式；我們僅僅對其在區(qū)間 感興趣； 稱為第 i 個節(jié)點區(qū)段；其長度可以為零； 若 則稱上式中除以外的每一節(jié)點為的重節(jié)點 。 8?n ， 3?p ，各種關(guān)系如下確定： 這說明 ], . . . ,[], . . . ,[1210110 uuuuuuU pn ?? ?? ),[),[931 uuuuu np ?? ? ),[93 uu內(nèi)不含重節(jié)點時，曲線段數(shù) =n – p +1 =6。 high = n+1 。 j = p 。 Saved = left[jr]*temp 。 BasicFuncs(uspan, u, p, U, Nu) 。 vind = vspan – q + i 。 6.(仿射）幾何不變性： 曲面的形狀僅與控制頂點的位置有關(guān)，與坐標(biāo)系的選取無關(guān)； ： 曲面一定位于控制頂點所構(gòu)造的凸包內(nèi)； 若將控制頂點三角化，則所構(gòu)成的網(wǎng)格是曲面片的分段平面近似； ： ： S(u,v) 在 u(或 v)方向上具有 pk（ 或 qk） 次微分（可導(dǎo)）， 其中 k 是節(jié)點的重復(fù)度； 若將控制頂點三角化，則所構(gòu)成的網(wǎng)格是曲面片的分段平面近似； ： ： S(u,v) 在 u(或 v)方向上具有 pk（ 或 qk） 次微分（可導(dǎo)）， 其中 k 是節(jié)點的重復(fù)度； NURBS曲線。 k=p。 BasicFuncs(vspan, v, q, V, Nv) 。 } } B樣條曲面 1． B樣條曲面的定義： 給定 )1()1( ??? mn 控制頂點 ),. . . ,1,0。 right[j] = U